解平面向量問題的兩種思路

李愛蘭

（壽陽縣第一中學校 山西壽陽 045400）

解平面向量問題的兩種思路

李愛蘭

（壽陽縣第一中學校 山西壽陽 045400）

向量是高中數學中重要和基本的概念之—，它有深刻的代數特征和幾何背景，解決平面向量問題的時候也是從這兩個顯著特征入手的。

數學中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量。我們可以理解為：向量的大小是它的“數”性、而它有方向，則說明它有“形”的性質，這樣一來，向量實質上是個“數”、“形”兼備的量。所謂數，就是向量的模長，形是向量的方向。在學習了向量知識后，我們不妨這樣去理解它的“數”、“形”兼備：“數”，即是向量的坐標，而“形”則體現在向量的運算都有對相應的幾何表示。這樣就為我們提供發兩種解題的思路。

解法一：

解法二：

以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示坐標系，則

例2在直角三角形中，BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，則的夾角取何值時，向量有最大值，并求出最大值。

解法一

解法二：如圖所示，以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在的直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.設|AB|=c，|AC|=b則A（0，0），B（c，0），C（0，b），且|PQ|=2a，|BC|=a.

設點P的坐標為（x，y），則Q（-x，-y）.

注：這種解法充分利用了題目中的垂直條件建立了平面直角坐標系，然后給定題目的定量（三角形的三邊大小）和變量（PQ的位置），這樣一來，題目所涉及的向量都可以進行坐標表示，最后數量積的最值就會轉換成函數問題，利用我們所學的向量知識求解最值，并且也確定出了PQ的位置。

源于向量是“數”、“形”兼備的數學元素，向量問題有兩種求解思路，上述兩個例題都是一題兩解，兩種解法可概括為坐標法求解和“基底思想”結合向量運算求解。即用“數”解決向量問題——坐標法，或用“形”法來解決——基底法。