初中數學問題“轉化”典例評析

沈志明 沈曉生

摘 要：常見一些學生接受知識的能力還算可以，但主動獲取知識的能力則有所欠缺。學習上較為被動的學生，究其原因，大都是遇問題時不善轉化，所學知識不能融會貫通。面對一個新問題時，沒有意識或沒有方法將問題轉化。學會學習，從某種意義上講，就是要學會“轉化”，學會在遇新問題時，能觸類旁通，能根據自己已有的知識，將問題一步步轉化，直至將新問題轉化為已解決問題。

關鍵詞：初中數學；轉化；思想；幾何變換

轉化思想的實質，就是在已有的簡單的具體的基本知識的基礎上，把未知化為已知，把復雜化為簡單，把一般化為特殊，把抽象化為具體，把非常規化為常規，從而解決各種問題。下面筆者就以上幾種情形，舉一些典型教學實例加以解釋。

一、 數（式）與數（式）的轉化

在解題中，我們常把某個式子看成一個新的未知數，進行變量替換，這一思想方法，常可使我們將問題化新為舊，化繁為簡，化難為易，促使未知向已知轉化，使未解問題轉化為已解問題。

譬如，學會了單項式與多項式的乘法a（m+n）=am+an，把（x+y）看成a，便得（x+y）（m+n）=（x+y）m+（x+y）n=xm+ym+xn+yn

從而把兩個多項式相乘問題轉化為一個單項式與多項式相乘。

再如，掌握了解一元一次方程后，利用等式性質可將分式方程轉化為整式方程，二元一次方程組求解問題可通過“代入消元”或“加減消元”將多元轉化成一元。學完一元二次方程，再遇高次方程或無理方程時，只需作適當的變量替換，即可將高次方程、無理方程轉化為解一次或二次方程，有了變元思想，甚至今后遇解指數方程、對數方程、三角方程時，均能有化新為舊的方法。事實上，只要所遇方程可化為

a[f（x）]2+bf（x）+c=0的形式，都能通過換元轉化為解一元二次方程的問題。

二、 借助幾何變換的轉化

利用軸對稱、平移、旋轉等幾何變換，也是實現問題轉化的有效方法。

問題1：如圖，已知：P是直線a上的一個動點，當點P在a的什么位置時，AP與BP的和最小？

分析：利用直線反射變換得PB=PB′，問題轉化為當P在a的什么位置時，AP與PB′的和最小，由兩點之間線段最短，顯然連A、B′交直線a于點P時，AP與PB和最小。

問題2：如圖，∠AOB=30°，點M、N分別在邊OA，OB上且OM=1，ON=3，點P、Q分別在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是 。

分析：本題有一定的創新，它由問題1兩次迭加而成，正由于它形式的新穎，許多考生考試時一頭霧水：求兩條線段和的最小值我懂，三條線段和最小值問題咋弄呢？百思不得其解。事實上，只要把原問題分解為兩個小問題，便可化新為舊。利用直線反射變換先求出PQ+QN的最小值PN′，把問題轉化為求MP+PN′的最小值M′N′。

問題3：已知△ABC是正三角形，P是形外一點。求證：PB+PC≥PA。

分析：PB、PC、PA分布過于分散，可考慮用旋轉變換將分散線段集中于同一三角形中。證明：以B為中心，將△CBP逆時針旋轉60°至△ABD。①若P在△ABC外接圓上，由∠BPA=60°，則D落在AP上，此時有PB+PC=PD+DA=PA。②若P不在△ABC外接圓上連DP，由∠PBD=60°，PB=BD有PD=DB=PB，故PB+PC=PD+DA>PA。綜上，PB+PC≥PA

對于圖形具有等邊特性的命題，可考慮用旋轉變換改變元素位置，轉化命題條件，從而達到證題目的。尤其旋轉60°可得正三角形，旋轉90°可得等腰直角三角形性質的應用，屢見于近年數學中考試卷上。

三、 數與形的轉化

如圖直線y1=kx+b，過點A（02）且與直線y2=mx交于點P（1m），則不等式mx>kx+b的解集是 。

分析：兩直線的交點等價于二元一次方程組的解，求不等式的解集可轉化為兩直線的交點的左右兩側那個圖象在上或下。

有時，特殊化也是數學上實現轉化問題的重要手法。當直接解決一個問題有困難時，我們可以先考慮其特殊情形，然后再設法解決一般的問題。因為特殊情況下往往容易獲得結論。譬如圓周角的定理的證明，如果從圓心在角的一邊上這一特殊情況入手，不難發現，此時，圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。而后，無論圓心落在圓周角之內，還是在圓周角之外，只需作合適的直徑，就可轉化為圓心落在圓周角的一邊上的特殊情形，從而使命題順利得證。

數學問題千變萬化，解題靈感可產生于已知條件的轉化與結論的化歸，可產生于數形結合后的思考，也可產生于變更問題思路后的頓悟。總之，數學解題成功很大程度上講，就是實現數學問題的成功轉化。

作者簡介：沈志明，福建省漳州市，福建省詔安一中；

沈曉生，福建省漳州市，福建省詔安縣懷恩中學。