廣義m-冪矩陣的等價條件

陳益智,劉中柱

(惠州學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院, 廣東 惠州 516007)

廣義m-冪矩陣的等價條件

陳益智,劉中柱

(惠州學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院, 廣東 惠州 516007)

利用矩陣的秩和齊次線性方程組解空間的維數(shù),給出了廣義m-冪矩陣的5個等價條件,推廣了冪幺矩陣和m次冪等矩陣的相應結論.此外,把廣義m-冪矩陣的這幾個等價條件推廣到了廣義m-冪變換中.

廣義m-冪矩陣;等價條件;廣義m-冪變換

1 引言

設A是復數(shù)域上的一個n階矩陣,若存在正整數(shù)m(m≥2),使Am=A(Am=I,I為n階單位矩陣),則稱A為m次冪等矩陣(冪幺矩陣).

2010年,文獻[1]研究了冪幺矩陣和冪幺變換,并給出了它們的一些充要條件,包括:設A是n階矩陣,則Am=I當且僅當

這里ε0,ε1,···,εm?1是m個m次單位根.

2011年,文獻[2]研究了m(m≥2)次冪等矩陣和m(m≥2)次冪等變換，也給出了它們的一些等價條件,包括:設A是n階矩陣,則Am=A(m≥2)當且僅當

這里ε1,···,εm?1是m?1個m?1次單位根.

2012年,文獻[3]定義了廣義m-冪矩陣和廣義m-冪變換:復數(shù)域上的n階矩陣A稱為廣義m?冪矩陣,若它滿足(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O(m≥2),這里λ1,λ2,···,λm是m個兩兩互異的復數(shù);復數(shù)域上n維向量空間V的一個線性變換σ稱為是廣義m-冪變換,若它滿足(σ?λ1ι)(σ?λ2ι)···(σ?λmι)=θ時,這里λ1,λ2,···,λm是m(m≥2)個兩兩互異的復數(shù).該文獻還探究了廣義m?冪矩陣和廣義m?冪變換的一些等價刻畫和性質,包括:設A是n階矩陣,則(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O(m≥2)當且僅當

這里λ1,λ2,···,λm是m個兩兩互異的復數(shù),從而推廣了m次冪等矩陣(或變換)和冪幺矩陣(或變換)的相關結果.

2013年,文獻[4]探討了廣義m-冪矩陣和廣義m-冪變換的一些性質,從而推廣了m次冪等矩陣及冪幺矩陣的相關結果.

本文將繼續(xù)探討廣義m-冪矩陣和廣義m-冪變換.利用矩陣的秩和齊次線性方程組解空間的維數(shù),本文將給出廣義m-冪矩陣A的若干等價條件,從而推廣冪幺矩陣和m次冪等矩陣的相應結果,包括文獻[1-2,5-6]的一些主要結論.此外,本文還把廣義m-冪矩陣的等價條件平行地推廣到廣義m-冪變換中.

對于本文未提及的概念和術語,可參看文獻[7-8].

2 主要結果

引理2.1[8]設A,B都是n階矩陣,若AB=O,則有r(A)+r(B)≤n.

引理2.2[8]設A,B都是n階矩陣,則有r(A+B)≤r(A)+r(B).

引理 2.3[9]設A∈Cn×n,f1(x),f2(x),···,fm(x)∈C[x],且兩兩互素,

定理2.1設A是n階矩陣,m≥2,λ1,λ2,···,λm是m個兩兩互異的復數(shù),則下列條件等價:

1)(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O,即A是廣義m-冪矩陣;

2)r(A?λ1I)+r[(A?λ2I)···(A?λmI)]=n;

3)r[g1(A)]+r[g2(A)]+···+r[gm(A)]=n,這里,

4)r(A?λ1I)+r(A?λ2I)+···+r(A?λmI)=(m?1)n;

5)A相似于對角矩陣diag(λ1,···,λ1,λ2···,λ2,···,λm,···,λm).

證明1)?2)

設(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O,下證條件2)成立.事實上，一方面,由引理1,

另一方面,由引理2,

記多項式

顯然,h(λ1),h(λ2),···,h(λm)0,此時,矩陣h(A)必可逆.于是,由(2)式,

從而,綜合(1)式,(3)式,條件2)成立.

2)?3)

令f1(x)=x?λ1,f2(x)=(x?λ2)···(x?λm).顯然,(f1(x),f2(x))=1.由引理3,

因為r(A?λ1I)+r[(A?λ2I)···(A?λmI)]=n,所以

即(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O.

今考慮齊次線性方程組

及

并記其解空間分別為W1,W2,···,Wm及V.此時,結合剛才所證結果

不難驗證,V=W1⊕W2⊕···⊕Wm,從而有

由于2)成立,所以

于是,

條件3)成立.

3)?4)

令fi(x)=x?λi(i=1,2,···,m).顯然,(fi(x),fj(x))=1(ij).由引理3,

因為條件3)成立,即r[g1(A)]+r[g2(A)]+···+r[gm(A)]=n,所以,

即條件4)成立.

4)?5)

設r(A?λ1I)+r(A?λ2I)+···+r(A?λmI)=(m?1)n.考慮齊次線性方程組

并記其解空間分別為W1,W2,···,Wm.顯然W1,W2,···,Wm是屬于不同特征值的特征子空間,注意到屬于不同特征值的特征向量線性無關,可得V=W1⊕W2⊕···⊕Wm,從而有

因而,V=Cn.分別選取W1,W2,···,Wm的一個基,按順序放在一起可構成Cn的一個基,以這n個基向量為列作一個矩陣P,則有

從而有

此時,A相似于對角矩陣diag(λ1,···,λ1,λ2···,λ2,···,λm,···,λm),即條件5)成立.

5)?1)

設條件5)成立,即存在可逆矩陣P∈Cn×n,使得

從而,

此時,直接驗證可知,(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O,從而條件1)成立.

現(xiàn)在,在等式(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O中,令

為m個m次單位根,則可立即得到下面的推論.從而定理1推廣了文獻[1]的相關結果.

推論 2.1設A是n階矩陣,m≥2,ε0,ε1,···,εm?1是m個m次單位根,則下列條件等價:

1)Am=I,即A是冪幺矩陣;

2)r(A?ε0I)+r[(A?ε1I)···(A?εm?1I)]=n;

3)r[g1(A)]+r[g2(A)]+···+r[gm(A)]=n,這里,

4)r(A?ε0I)+r(A?ε1I)+···+r(A?εm?1I)=(m?1)n;

5)A相似于對角矩陣diag(ε0,···,ε0,ε1···,ε1,···,εm?1,···,εm?1).

相應地,在等式(A?λ1I)(A?λ2I)···(A?λmI)=O中,令

為m?1個m?1次單位根,則也可得到下面的推論.從而定理1推廣了文獻[5-6]的一些相關結果.

推論2.2設A是n階矩陣,m≥2,ε1,···,εm?1是m?1個m?1次單位根,則下列條件等價:

1)Am=A,即A是m次冪等矩陣;

2)r(A)+r[(A?ε1I)···(A?εm?1I)]=n;

3)r[g0(A)]+r[g1(A)]+···+r[gm?1(A)]=n,這里,

4)r(A)+r(fA?ε1I)+···+r(A?εm?1I)=(m?1)n;

5)A相似于對角矩陣diag(ε0,···,ε0,ε1···,ε1,···,εm?1,···,εm?1).

3 推廣

在這一節(jié),類似于上一節(jié)的討論,也可得到廣義m?冪變換的若干等價條件.這些結果的證明過程我們在此不再贅述.

定理3.1設σ是復數(shù)域上n維向量空間V的一個線性變換,m≥2,λ1,λ2,···,λm是m個兩兩互異的復數(shù),則下列條件等價:

1)(σ?λ1ι)(σ?λ2ι)···(σ?λmι)=θ,即σ是廣義m-冪變換;

2)dim Im(σ?λ1ι)+dimIm[(σ?λ2ι)···(σ?λmι)]=n;

3)dimImg1(σ)+dimImg2(σ)+···+dimImgm(σ)=n,這里,

4)dim Im(σ?λ1ι)+dimIm(σ?λ2ι)+···+dimIm(σ?λmι)=(m?1)n;

5)σ在V的某組基下的矩陣為對角矩陣diag(λ1,···,λ1,λ2···,λ2,···,λm,···,λm).

現(xiàn)在,令σ為冪幺線性變換(即滿足σm=ι,m≥2),則可立即得到下面的推論.從而,定理3.1推廣了文獻[6]的相應結果.

推論 3.1設σ是復數(shù)域上n維向量空間V的一個線性變換,m≥2,ε0,ε1,···,εm?1是m個m次單位根,則下列條件等價:

1)σm=ι,即σ是冪幺變換;

2)dimIm(σ?ε0ι)+dimIm[(σ?ε1ι)···(σ?εm?1ι)]=n;

3)dimImg0(σ)+dimImg1(σ)+···+dimImgm?1(σ)=n,這里

4)dimIm(σ?ε0ι)+dimIm(σ?ε1ι)+···+dimIm(σ?εm?1ι)=(m?1)n;

5)σ在V的某組基下的矩陣為對角矩陣diag(ε0,···,ε0,ε1···,ε1,···,εm?1,···,εm?1).

相應地,令σ為m次冪等線性變換(即σm=σ,m≥2),則可得下面的推論.

推論 3.2設 σ是復數(shù)域上 n維向量空間 V的一個線性變換,m≥2,ε1,···,εm?1是m?1個m?1次單位根,則下列條件等價:

1)σm=σ,即σ是冪等變換;

2)dimIm(σ)+dimIm[(σ?ε1ι)···(σ?εm?1ι)]=n;

3)dimImg0(σ)+dimImg1(σ)+···+dimImgm?1(σ)=n,這里,

4)dimIm(σ)+dimIm(σ?ε1ι)+···+dimIm(σ?εm?1ι)=(m?1)n;

5)σ在V的某組基下的矩陣為對角矩陣diag(0,···,0,ε1,···,ε1,···,εm?1,···,εm?1).

參考文獻

[1]唐建國,嚴青云.冪幺矩陣的充要條件[J].數(shù)學的實踐與認識,2010,40(20):172-176.

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[8]北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[9]林國欽,楊忠鵬,陳梅香.矩陣多項式秩的一個恒等式及其應用[J].北華大學學報,2008,9(1):5-8.

Equivalent conditions of generalized m-power matrices

Chen Yizhi,Liu Zhongzhu
(School of Mathematics and Big Data,Huizhou University,Huizhou,Guangdong 516007,China)

In this paper,by using ranks of matrices and dimensions of solution spaces of homogeneous linear systems,five equivalent conditions of generalized m-power matrices are given.Consequently,the corresponding results of unit-ponent matrices and m(m ≥2)times idempotent matrices are generalized. Also,the main results obtained are extended to generalized m-power transformations.

generalized m-power matrices,equivalent conditions,generalized m-power transformations

O152.7

A

1008-5513(2017)02-0122-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.002

2017-02-01.

國家自然科學基金(11501237,11401246,11426112);廣東省高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計劃項目(YQ2015155);廣東省自然科學基金(2014A030310087,2014A030310119,2016A030310099);惠州學院科研創(chuàng)新團隊培育項目(hzuxl201523).

陳益智(1980-),副教授,研究方向:代數(shù)學.

2010 MSC:15A57