六維Heisenberg李超代數的Yang-Baxter方程

郎爽,劉文德

(哈爾濱師范大學數學系,黑龍江 哈爾濱 150025)

六維Heisenberg李超代數的Yang-Baxter方程

郎爽,劉文德

(哈爾濱師范大學數學系,黑龍江 哈爾濱 150025)

利用六維Heisenberg李超代數的分類,在特征0的代數閉域F上通過計算刻畫了六維Heisenberg李超代數Yang-Baxter方程所有的解.

Heisenberg李超代數;Rota-Baxter算子;Yang-Baxter方程

1 引言

Rota-Baxter代數由一個結合代數和一個線性算子組成,Rota-Baxter代數在物理,數論,組合等方面的應用越發廣泛[1].Rota-Baxter算子是G.Baxter在研究波動理論時引入的,這個線性算子滿足微積分中的分部積分公式中的等式[2].這個算子可推廣到非結合代數中.近年來,許多人刻畫了低維代數上的Rota-Baxter算子,例如文獻[3-4]分別刻畫了低維Pre-Lie代數上的Rota-Baxter算子,文獻[5]刻畫了有限維Hamilton結合代數和三、四維Heisenberg李超代數上的所有Rota-Baxter算子,文獻[6]刻畫出了三維冪零李超代數的Yang-Baxter算子,文獻[7]刻畫了五維Heisenberg李超代數上的Rota-Baxter算子.

本文根據6維Heisenberg李超代數在特征0的代數閉域F上的分類[8],通過計算刻畫出了6維Heisenberg李超代數的所有Yang-Baxter方程的解.約定N表示正整數集.As×t為F上任意s×t階矩陣,其中s,t∈N.

2 基本概念

定義 2.1設L為域F上的李超代數[9],λ∈F.若R:L→L是齊次線性算子,并且滿足

則稱R是李超代數上權為λ的Rota-Baxter算子.當R次數是偶數時,稱為偶算子,當R次數是奇數時,稱為奇算子.特別地,λ=0時,(1)式稱為經典Yang-Baxter方程.

定義2.2[10]設H是域F上的有限維李超代數,若H滿足 [H,H]=Z(H),dimZ(H)=1,則稱H為Heisenberg李超代數.

Heisenberg李超代數g按中心元素z的奇偶性,其中z是Z(H)中的非零元,可分為如下兩類:

(1)若|z|=0,則g具有齊次基u1,···,um,v1,···,vm,z,w1,···,wn,其中

其余李積為0,此時用gm,n表示.

(2)若|z|=1,則g具有齊次基u1,···,un,z,w1,···,wn其中

其余李積為0,此時用gn表示.

因此,六維Heisenberg李超代數同構于以下三種代數之一[8]:

(1)|z|=0,g2,3具有齊次基u1,v1,z,w1,w2,w3,乘法表為

其余李積為0;

(2)|z|=0,g4,1具有齊次基u1,u2,v1,v2,z,w1,乘法表為

其余李積為0;

(3)|z|=0,g0,5具有齊次基z,w1,w2,w3,w4,w5,乘法表為[wj,wj]=z,j=1,···,5,其余李積為0.

現將g上的Rota-Baxter算子R分別寫成在上述基下的矩陣,形式為(rij),本文將計算權0的Rota-Baxter算子在各組基下的矩陣.

3 主要結果

定理 3.1Heisenberg李超代數g2,3的偶Yang-Baxter方程的解為

A有兩種情況,分別為:

a,b,c,k∈F,d=2k?c,?=c或d.

證明由于R為偶的線性算子,可設

當λ=0的情形,由于R為線性的,故只需考慮基元素滿足(1)式,從而有r13,r23是任意的以及下面等式成立:

再分兩種情況討論:r11+r22=0和r11+r220,經計算可得.

定理 3.2Heisenberg李超代數g2,3的奇Yang-Baxter方程的解為

a,b,c,d∈F.

證明由于R為奇的線性算子,可設

當λ=0的情形,根據R滿足(1)式

經計算可得.

定理 3.3Heisenberg李超代數g4,1偶Yang-Baxter方程的解為

其中

矩陣A中元素與D有關.

奇Yang-Baxter方程的解為

其中A任意.

定理 3.4Heisenberg李超代數g4,1偶Yang-Baxter方程的解為

A中元素關系為以下兩種之一:

(1)當

時,

其中

(2)當

時,

其中

證明由于R為偶的線性算子,可設

λ=0的情形,根據R滿足(1)式可得

R為奇的線性算子時,可設

λ=0可得

經計算可得定理3.4的結果.

表1 g0,5偶的Yang-Baxter方程的解

定理3.5Heisenberg李超代數g0,5偶的Rota-Baxter方程的解為Ri(i=1,···,5),則如下表：

證明由于R為偶的線性算子,可設

根據R滿足(1)式,分兩種情況討論:

(1)r66=0;(2)r660.

在情況(1)中,分五種情況討論:

(a)r11=0,(b)r22=0,(c)r33=0,(d)r44=0,(e)r55=0.

經計算可得定理3.5的結果.

定理 3.6Heisenberg李超代數g0,5奇的Yang-Baxter方程的解為

其中A任意.

證明同定理3.3.

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Rota-Baxter operators on Heisenberg Lie superalgebras of dimension six

Lang Shuang,Liu Wende
(Department of Mathematics,Harbin Normal University,Harbin 150025,China)

According to the classification method of Heisenberg Lie superalgebras,we characterize all solutions of the Yang-Baxter equations of the six dimensional Heisenberg Lie superalgebras g2,3,g4,1and g0,5over algebraically closed fields of characteristic 0.

Heisenberg Lie superalgebra,Rota-Baxter operator,Yang-Baxter equation

O152.5

A

1008-5513(2017)02-0177-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.02.009

2016-12-30.

國家自然科學基金(11471090).

郎爽(1995-),碩士生,研究方向：李代數與李超代數.

劉文德(1965-),博士,教授,研究方向：李代數與李超代數.

2010 MSC:17B05