基于MATLAB的營養搭配方法

宋曉霞++李勇

摘 要 由于營養搭配問題與人們的健康狀況緊密相關，因此它是一個極其重要的問題。目前的研究方法主要是定性研究，研究結論在實踐中很難把握和執行。基于此，為了定量研究營養膳食搭配問題，從食品數量和種類上給出更易于操作的營養膳食搭配方案，本文根據不同人群對營養成分的不同需求、現有食物、食物所含營養成分及食物價格等條件建立數學模型，該模型可歸結為最優化問題，利用仿真能力強的MATLAB進行優化求解并獲得營養搭配方案。本文模擬實例說明了所提方法的有效性和可行性。本文不僅能從理論角度將營養搭配問題建模為最優化問題，而且通過MATLAB仿真獲得有效而可行的營養搭配方案。

【關鍵詞】計算機應用 優化問題 營養搭配 數學模型

隨著生活質量的提高，人們越來越關注營養價值和膳食均衡問題，因為養生學認為它是與人們健康狀況息息相關的重要問題。按照性別區分，有些研究者關注女性營養搭配，有些研究者關注男性營養搭配。按照年齡段分，有些學者關注嬰幼兒營養搭配，有的學者關注青少年營養搭配，有的研究人員關注大學生營養搭配，有的研究人員關注成年人營養搭配，而老年專家更關注老年人的營養搭配。這些研究都是從醫學、食品學的角度來宏觀定性地進行研究，并且這些研究結論在實踐中很難把握，難以準確執行。為了定量研究營養膳食搭配問題，從食品數量和種類上給出更易于操作的營養膳食搭配，本文首先對營養膳食搭配問題進行數學建模，然后采用仿真能力強的MATLAB軟件進行求解，從而給出滿足多種約束和需求的營養膳食搭配方案。

本文根據不同人群、不同需求、食物種類、食物所含的營養成分及食物價格等約束條件建立數學模型，該模型可歸結為優化問題。本文針對建立的模型，利用仿真能力強的MATLAB進行求解。模擬實例針對成人正常營養搭配、減肥需求搭配和學齡前兒童搭配進行了仿真，結果說明了本文所提方法的有效性和可行性。該方法不僅對文中實例有效，而且只要用戶給出食物，并且給出不同人群對食物營養的需求，所提方法就能獲得可行的營養搭配方案。因此，該方法能從理論上將營養搭配問題建模為最優化問題，利用MATLAB進行仿真，從定量的角度獲得可行、有效和易于執行的營養搭配方案。

1 營養搭配問題的數學建模

本節首先給出營養搭配問題中使用的數學符號，然后針對營養需求建立數學模型。建立的模型基于表1中的數據。更詳細的數據可以進一步參考由中國營養學會提供的中國居民膳食營養素參考日攝入量和中國疾病預防控制中心營養與食品安全所編著出版的食物成分表。

1.1 數學符號

設有N種食物，用來表示，其中。N種食物的攝入量用來表示。N種食物共含M種營養成分。對于M種營養成分， 某人群每天需攝入總量用表示，其中，且bj表示某人群每天需要攝入的第j種營養成分。N種食物所含的M種營養成分用表示，其中Ai可表示為，且Aij表示第i種食物所含的第j種營養成分。

1.2 數學模型

針對表1 所給定的N種食物含有M種營養成分的數據，結合某人群每天對每種營養成分的攝入量需求，建立下面的數學模型。

為滿足該人群對于第一種營養成分的需求，可用下面的（1）式表示。

（1）

同理為滿足該人群對于第二種營養成分的需求，可用下面的（2）式表示。

（2）

依次類推，對于第j種營養成分的需求，可用下面的（3）式表示。

（3）

總之，該營養搭配問題需滿足下面（4）式所描述的矩陣方程。

（4）

在具體應用時，如果要求費用盡可能低，則該營養搭配問題可建模為（5）式所描述的優化問題，假設第i種食物ni的價格為ci。

（5）

如果要求食物品種盡可能豐富，則該營養搭配問題可建模為（6）式所描述的優化問題。

（6）

在模型（6）中，目標函數用x的零范數來表示最大化食物的種類。當然我們還可以加入其它限制因素。最基本的營養搭配問題可建模為（7）式所描述的優化問題。

（7）

2 基于MATLAB的營養搭配方法

根據上一節建立的數學模型，圖1給出基于MATLAB的營養搭配方法。

在圖1中，第一步首先輸入A和B，并確定其維數為M×N和M。第二步利用MATLAB優化技術求解模型所描述的優化問題，優化結束獲得該問題的解。第三步將優化問題的解與每種食物的攝入量相對應。第四步利用MATLAB的繪圖功能繪出該人群在現有食物種類條件下每種食物每天應攝入量的圖形。

3 仿真實例

2.1 實例1

表2為由七種食物提供七種營養成分和成人每天對七種營養成分的攝入量要求，請給出營養搭配方案。

根據第1節所建立的模型，用圖1所描述的基于MATLAB的營養搭配方法進行求解，所得結果如圖2所示，七種食物攝入量分別為2.7774， 0.4753， 0.2281， 5.3116， 5.4477， 1.0723， 0.0061百克。

2.2 實例2

表3為由四種食物提供三種營養成分的有減肥需求攝入量要求的數據，請給出營養搭配方案。

根據第1節所建立的模型對表3中的數據進行建模，然后用圖1所描述的基于MATLAB的營養搭配方法進行求解，所得結果如圖3所示。

2.3 實例3

表4為由六種食物提供七種營養成分和成人每天對七種營養成分的攝入量，請給出營養搭配方案。

根據第1節所建立的模型對表4中的數據進行建模，然后用圖1所描述的基于MATLAB的營養搭配方法進行求解，所得結果如圖4所示。

2.4 實例4

表5為學齡前兒童從提供的五種食物攝入五種營養的數據和每種營養每天需要的攝入量，請給出滿足兒童營養需求的食物搭配方案。

根據第1節所建立的模型對表5中的數據進行建模，然后用圖1所描述的基于MATLAB的營養搭配方法進行求解，所得結果如圖5所示，五種食物攝入量分別為0.7681，0.2433，8.1445，12.7771和1.5948百克， 即獲得該種條件下學齡前兒童營養搭配方案。

3 結論

由于營養搭配問題與人們的健康狀況緊密相關，因此它成為人們廣泛關注的熱點問題，并且取得了大量研究成果。然而，這些研究成果大多從定性的角度進行研究，實際中很難操作。我們從定量的角度出發，針對不同人群對營養成分的不同需求、現有食物以及食物所含營養成分等條件通過建立數學模型，利用MATLAB求解，并給出易于操作的營養搭配方案。本文不僅從理論角度將營養搭配問題建模為優化問題，還給出利用MATLAB仿真獲得營養搭配問題的方法。

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作者簡介

宋曉霞（1975-），女，博士學位。現為山西大同大學數學與計算機科學學院教授。主要研究方向為優化算法，無線傳感器網絡等。

作者單位

山西大同大學數學與計算機科學學院 山西省大同市 037009