利用MATLAB生成Koch曲線

張笑笑

摘 要 分析Koch曲線的構造過程，然后編寫生成Koch曲線生成元的M函數，通過該M函數的遞歸調用來生成Koch曲線。通過Koch曲線，便于更直觀地理解分形，獲得分形帶來的藝術美感。

【關鍵詞】分形 Koch曲線 遞歸

自然界存在許多復雜事物和現象，如蜿蜒曲折的海岸線、天空中奇形怪狀的云朵、錯綜生長的灌木、太空中星羅棋布的星球等，還有許多社會現象，如人口的分布、物價的波動等，它們呈現異常復雜而毫無規則的形態，但它們具有自相似性。人們把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形（fractal），在此基礎上，形成了研究分形性質及其應用的科學，稱為分形理論。Koch曲線由瑞典數學家科赫（Koch）于1904年提出，是典型的分形曲線。

MATLAB（MATrix LABoratory）是頗具特色和影響的科學計算軟件，它以矩陣運算為基礎，將高性能的數值計算和符號計算功能、強大的繪圖功能、動態系統仿真功能以及為數眾多的應用工具箱集成在一起，在科學研究以及工程設計領域有著十分廣泛的應用。本文以Koch曲線為例，利用MATLAB作為實現工具，說明分形曲線的生成方法。

1 Koch曲線的構造過程

Koch曲線的構造過程是，取一條直線段L0，將其三等分，保留兩端的線段，將中間的一段用以該線段為邊的等邊三角形的另外兩邊代替，得到曲線L1，如圖1所示。再對L1中的4條線段都按上述方式修改，得到曲線L2，如此繼續下去進行n次修改得到曲線Ln，當n→∞時得到一條連續曲線L，這條曲線L就稱為Koch曲線。

Koch曲線將每條直線用一條折線替代，這條折線通常稱為該Koch曲線的生成元。曲線的特征完全由生成元決定。給定不同的生成元，就可以生成各種不同的分形曲線。分形曲線的構造過程是通過反復用一個生成元來取代每一直線段，因而圖形的每一部分都和它本身的形狀相同，這就是自相似性，這是分形最為本質的特點。

對于給定的初始直線L0，需要在線段P1P5中插入三個點，其中P2，P4為線段P1P5的三等分點， P3可以由P4以P2為軸心逆時針旋轉60°得到。

先考慮坐標數據的處理方法，即根據P1，P5兩點的初始坐標，按照Koch曲線的構成原理計算出 P2，P3，P4各點坐標。顯然：

P2=P1+（P5-P1）/3

P4=P1+2（ P5-P1）/3

為了得到P3點坐標，引入旋轉矩陣。點A對應于長度為r的向量，A逆時針旋轉△θrad得到B，如圖2所示。

由此，定義旋轉矩陣：

則

B=ART

P3點坐標可以由以下旋轉矩陣來實現。

R用于對坐標進行60°的旋轉，則P3點坐標可以由如下的公式得到：

2 Koch曲線的實現

分形曲線的構造過程也決定了生成該曲線可以用遞歸方法，即函數自己調用自己的過程。定義對直線L0進行替換的函數koch（），然后利用函數的遞歸調用，分別對P1P2、P2P3、P3P4、P4P5線段調用koch函數，通過遞歸來實現替換。程序不能像數學家的設想那樣運算至無窮，所以要根據要顯示的最小長度作為遞歸的終止條件。

首先編寫M函數koch.m如下：

function y=koch（P1，P5，Level）

if Level<1

plot（[P1（1），P5（1）]，[P1（2），P5（2）]，'k'）； %繪制曲線

hold on；

else

R=[cos（pi/3），-sin（pi/3）；sin（pi/3），cos（pi/3）]； %旋轉矩陣

P2=P1+（P5-P1）/3； %計算P2，P3，P4各點坐標

P4=P1+2*（P5-P1）/3；

P3=P1+（P5-P1）/3+（P5-P1）*R'/3；

koch（P1，P2，Level-1）； %函數遞歸調用

koch（P2，P3，Level-1）；

koch（P3，P4，Level-1）；

koch（P4，P5，Level-1）；

end

M函數編寫完成后，編寫以下程序。

koch（[0，0]，[1，0]，5）；

axis equal

axis（[0，1，-0.05，0.35]）

程序取Level=5，P1=[0，0]，P5=[1，0]，運行結果如圖3所示。改變Level的值可以獲得不同細膩程度的Koch曲線。

在程序中三次調用koch.m函數，實現三角形三條邊各自的Koch曲線，形成Koch雪花曲線效果。編寫以下程序，其運行結果如圖4所示。

koch（[1，0]，[0，0]，5）；

koch（[0，0]，[cos（pi/3），sin（pi/3）]，5）；

koch（[cos（pi/3），sin（pi/3）]，[1，0]，5）；

axis equal

3 Koch曲線的變形

參照本文的方法，我們很容易自己構造其他生成元的Koch曲線，并利用MATLAB來實現。例如，修改Koch曲線生成的方法，將線段中凸起“三角形”改為凸起“正方形”，從而形成一種正方形雪花曲線，如圖5所示。

4 結束語

分形幾何是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學。由于不規則現象在自然界普遍存在，因此分形幾何學又被稱為描述大自然的幾何學。分形幾何學建立以后，很快就引起了各個學科領域的關注，不僅在理論上，而且在實用上分形幾何都具有重要價值。通過利用計算機和MATLAB來生成分形曲線的圖像，使得我們可以更直觀的感受和理解分形，以及分形帶來的藝術之美。

參考文獻

[1]百度百科.分形理論.http：//baike.baidu.com/view/86848.htm.

[2]劉衛國.MATLAB程序設計教程（第二版）[M].北京：中國水利水電出版社，2010.

[3]PRATAP R.Getting Started with MATLAB： A Quick Introduction for Scientists and Engineers.Oxford University Press， New York， 2009.

[4]百度文庫.幾個分形的matlab實現.http：//wenku.baidu.com/view/e34f87240722192e4536f659.html.

作者單位

湖南省長沙市第一中學 湖南省長沙市 410005