一類線性丟番圖方程非負整數解的探討

摘 要：隨著科學技術的發展，由古希臘亞歷山大學后期的重要學者和數學家丟番圖（diophantus）的名字命名的丟番圖方程在電力、化工、生物等生產實際、工程設計等領域得到了愈來愈重要的應用。本文主要研究一類線性丟番圖方程的非負整數解的存在性問題。

關鍵詞：丟番圖方程 非負整數解 素質教育

一、引言

隨著素質教育在中小學的進一步推行，現在我們的中學生活豐富，經常參加一些實踐，科技競賽等活動。在參加生物競賽的時候，我們遇到了蛋白質分子組成的判定問題，經與老師同學們研究，發現如果將蛋白質分子分子量記為種氨基酸的已知分子量，，的線性組合，這一類問題可以即可轉化為一類線性丟番圖方程的求解問題，這樣就把一個生物問題轉化為一個數學問題。同時這個轉化也體現了數學在其他學科中的地位和作用。當我們在實際生活中需要求某一類特定方程的整數解的時候，那么就會得到由古希臘亞歷山大學后期的重要學者和數學家丟番圖（diophantus）的名字命名的一個丟番圖方程。當時代數學的創始人之一丟番圖在有理數域上寫下了一些方程。丟番圖方程又被稱為不定方程、整系數多項式方程。近些年，丟番圖方程的求解問題也受到了廣大學者的關注。丟番圖方程整數解的存在性已經有很多相關結果，本文主要研究一類線性丟番圖方程的非負整數解的問題。

首先我們給出一次線性丟番圖方程的概念。

定義 方程 （1）稱為元一次線性丟番圖方程。這里都是整數。

下面的引例在本文主要結論的證明過程中將要用到，也是一次線性丟番圖方程整數解的存在的一個常用的充分必要條件。

引理 設，，是不全為零的正整數，對任意的整數，都存在，，使得方程成立當且僅當。特殊的，方程（1）對每個有解當且僅當。

二、主要結論

本節我們給出本文的兩個主要結論，分別給出了一次線性丟番圖方程非負整數解的存在的一個常用的充分條件。

定理 2.1 設，，皆為正整數，并且滿足，如果，則一次線性丟番圖方程存在非負整數解，，。

證明 因為，由引理可得，存在整數，，，使得一次線性丟番圖方程成立。

由帶余除法可知，存在整數，，，使得 成立，這里。

不妨設，那么

。

又由題設知，。

因此，，從而，故得證。

定理 2.2 設，，皆為正整數，并且滿足，當時，一次線性丟番圖方程存在非負整數解，，。

證明 因為

所以，我們有

。

再結合定理2.1可知定理2.2成立。

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作者簡介：顏若珂（1999-），女，漢，兗州區第一中學高三級27班，山東省濟寧市兗州區，研究方向：丟番圖方程