平面向量與三角形四心的交匯

姜懿洋

摘 要：本文介紹了三角形四心的定義，對三角形四心相關的常見向量表達式進行了總結，并運用高中的平面向量知識，推導證明了更一般的表達式。最后，探究了三角形四心相關試題的特點，總結出各類試題一般解題思路。

關鍵詞：平面向量 三角形 四心

一、三角形的四心

一般說來，三角形有五心：重心、垂心、外心、內心、旁心。但高考要求的是前面四個，我們常稱呼為三角形的四心。近幾年高考對平面向量這一塊知識點的考查，越來越靈活，與三角形四心的結合考查出現得越來越頻繁。我們先介紹這幾個“心”的概念：

重心：三角形三條中線的交點。

垂心：三角形三條高線的交點。

外心：三角形外接圓的圓心，即三條邊的中垂線的交點。

內心：三角形內切圓的圓心，即三個角的角平分線的交點。

二、三角形四心的向量常規表達式

對于，O是平面上的一點，分別是三邊

（1）O是的重心

證明：如果O是的重心，若D為AB的重點，根據向量的平行四邊形法則知，根據重心的幾何性質有OC=2OD，因此有.

反過來，若，則可知，可知O、C、D三點共線，并且OC=2OD，因此O為的重心。

（2）O是的垂心

證明：若O是的垂心，根據垂心的性質，有，故有，化簡可得，同理可得，因此

反過來，若，根據前兩個等式，有，即

同理，有，因此O為的垂心。

（3）O是的外心

證明：顯然成立。

（4）O是內心

證明：容易知道是方向的單位向量，表示的是平分線方向的向量，表示的是垂直平分線的向量。因此表示OA是的角平分線，同理OB、OC分別是的角平分線，因此O是內心，反之亦然。

三、三角形四心的向量一般表達式

在推導一般式前，我們先看一道例題：

例1. 點在內部且滿足，則面積與面積之比為（ ）。

A.2 B. C.3 D.

分析：題目中的向量表達式有點像重心的表達式，但是前面的系數不太對，我們考慮構造新的三角形，滿足O是重心，再來解決問題。

解：如圖所示，延長OB至，使得；延長OC至

可知，因此O為的重心。根據重心的性質，。根據線段的比例關系，

因此面積與面積之比為

從這道題里面我們可以看出，一個點和三角形三個頂點連線，把三角形劃分成三部分，這三部分的面積比可以和向量結合起來。我們得到下面的定理：

點在內部，

這個定理用上面的方法很容易證明，這里就先省略，我們用這個定理來重新審視三角形的四心。

重心這個仍然不變，O是的重心

垂心，由于，因此有O是的垂心

外心，容易知道，O是的外心

內心，由于三個小三角形的高是一樣的，底邊分別為，因此O是的內心

四、三角形四心的考查形式

下面我們通過幾道例題說明三角形四心的具體考查形式，以及對應的解題思路。

例2.是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（ ）

A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心

分析：出現了一個不相關的點O，我們要探究的是P和四心的關系，因此要把O點消除，采用向量差的方法是不錯的。

解：化簡向量表達式，容易知道平行與過A點的中線，因此P點的軌跡一定經過重心，選C.

例3. 是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（ ）

A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心

分析：O點仍然和上一題一樣，采用作差的方法消除，另外還要對單位向量的表達形式要熟悉，一般說來表示的是方向的單位向量。

解：化簡向量表達式，由于和分別表示和方向的單位向量，根據向量加法的平行四邊形法則，表示的是角平分線方向的向量，因此P點的軌跡過內心，選B.

例4.若存在常數，滿足，則點可能通過的__________

分析：和上面那題不一樣的是，分母里面出現了正弦值。由正弦定理可得，即

解：化簡向量表達式

這樣，G點明顯過三角形的重心。

參考文獻：

[1]羅永高.三角形四心向量一般形式的探究[J].數學教學通訊：教師閱讀， 2010（3）：63-64.

[2]彭剛婷.用數形結合理解三角形四心的向量形式及應用[J].中外交流， 2015（31）.