層層遞進 妙趣橫生

李彥杰

摘 要：數學解題教學中，如果教師能用心發掘，進行有目的的“借題發揮”，不僅可以創設新穎的教學情境，喚起學生的積極思維，激發他們的探究欲望，而且可以引導學生自主學習，提高他們自主探索的能力。

關鍵詞：有心圓錐曲線 錐心角 解題教學

數學解題教學中，老師常常“就題論題”，有時甚至片面追求解題教學中“量”的多寡，忽視解題教學中“質”的思索的現象層出不窮，這樣勢必會造成教師覺得平淡、學生感到乏味的結果，從而影響教學質量。筆者認為在解題教學中，引導學生從思想方法角度立意，用心發掘，進行有目的的“借題發揮”，不僅可以創設新穎的教學情境，喚起學生的積極思維，激發他們的探究欲望，而且可以引導學生自主學習，提高他們自主探索的能力。

下面以有心圓錐曲線中錐心角為直角問題為例，談數學解題教學，拋磚引玉，與同行共同探討。有心圓錐曲線包括圓、橢圓、雙曲線（以原點為對稱中心）。所謂錐心角就是有心圓錐曲線上兩點與中心連線所成的夾角。

教學案例

2014年貴陽市高三適應監測考試（二）第20題：

已知橢圓C：過點，離心率，O為坐標原點。

（Ⅰ） 求橢圓C的方程；

（Ⅱ） 若直線是圓O：的任意一條切線，且直線與橢圓C交于A、B兩點，求證：為定值。

不難發現，這是一中檔難度題，但通過題目可以挖掘出有心圓錐曲線一組有趣性質，筆者決定用探究式教學方法進行。

問題解答

（Ⅰ） ， 橢圓方程為

又橢圓C過點，代入上式得，

橢圓C的方程為

（Ⅱ） 證明： ①當圓O的切線的斜率存在時，設直線的方程為，則圓心O到直線的距離，于是

將直線方程與橢圓方程聯立，得

設直線交橢圓于、兩點，則 ，

② 當圓的切線的斜率不存在時，驗證得

綜上所述，為定值。

結論的推廣

講完本題討論鞏固后，教師及時提出：在本題中，對于確定的同心圓與橢圓，動直線與圓相切與橢圓相交，對應于橢圓的錐心角一定有直角。那么對于任意的橢圓與圓結論是否成立呢？經討論答案是否定的。教師繼續追問：那么橢圓與圓有什么樣的關系，對應的錐心角才能是直角呢？剛開始有學生較迷茫，但經過討論后，有些學生提出對任意的橢圓，只要同心圓的半徑滿足一定條件即可。

即：橢圓，若直線是圓O：（滿足一定條件）的任意一條切線，且直線與橢圓相交于A、B兩點，則OAOB。

這時教師問：這個猜想正確嗎？ 如果正確怎樣證明？

1.論證猜想，先尋找后論證。

不妨設任意橢圓方程為，最好能先找出這個圓的半徑。用什么方法求滿足條件的呢？ 顯然，特殊化這個題目比較有利。對于特殊的切線軸，

記切點為D。則D（0），將代入橢圓得A（），于是

只需

即 ，

得 。

2.教師引導，對于“動中存定”的問題，常可考慮采用“從特殊到一般”的方法，但一定要對一般情形進行驗證和證明。

對于任意的直線（斜率存在）：與圓相切。

則 ， 。

將直線的方程與橢圓C的方程聯立，得

直線與橢圓C交于、，則， ，

， 故 OAOB。

結論1： 橢圓，若直線是圓O：

的任意一條切線，且直線與橢圓相交于A、B兩點，則OAOB當且僅當圓的半徑。結論的類比

結論1反映了橢圓的一個重要性質，教師提出：對于雙曲線與圓有這樣的性質嗎？ 通過類比討論得出下面的結論：

結論2： 雙曲線，若直線是圓O：的任意一條切線，且直線與雙曲線交于A、B兩點，則OAOB當且僅當。

結論3： 圓O：，若直線是圓O′：的任意一條切線，且直線與圓O相交于A、B兩點，則OAOB當且僅當。

以上是對同心有心圓錐曲線中錐心角為直角的探索，那么對于單有心圓錐曲線是否也有一組性質呢？繼續引導學生思考、討論，經過教師引導提出猜想：

橢圓，A、B是橢圓上任意兩點，使得OAOB，你能得出什么結論呢？

學生提出：假設，則由OAOB知，，

則B（），A（），

即A（），將A、B兩點代入橢圓方程，得

。

教師提出疑問： 這個命題的逆命題成立嗎？經過學生討論、計算，得出當OA、OB的斜率有一個不存在時成立；當OA、OB的斜率都存在時不成立，只有當OA、OB的斜率異號時才成立（見文獻[1]）。

結論4： 橢圓，A、B是橢圓上任意兩點，使得OAOB，則。

結論5： 雙曲線，A、B是雙曲線上任意兩點，使得OAOB，則。

結論6： 圓，A、B是圓上任意兩點，使得OAOB，則圓心O到直線AB的距離。

總結概括，教學反思。

數學解題教學在整個數學教學中占舉足輕重的作用。在教學中，創設良好的問題情境，往往能夠激發起學生強烈的問題意識、探索欲望，能夠讓學生主動發現問題，引發學生積極思考，從而獨立地解決問題，發展其思維能力和創造能力。在創設問題情境的過程中，教師應始終圍繞課堂教學目的，層層遞進，以學生的認知能力、知識結構為基礎，從而發揮問題情境的作用，提高數學教學的有效性。

參考文獻：

[1]孫登，毛長青.圓錐曲線中一類垂直問題的探究[J].數學月刊·中學版·教學參考， 2013（5）：61-62.