夏皮羅先物結構主義探析

黃岑

【摘要】夏皮羅先物結構主義強調數學作為結構的科學，主要研究結構的位置及位置之間的關系。通過定義位置即對象以及位置即職位的概念，夏皮羅合理闡述了數學對象與結構位置的關系。但是，夏皮羅先物結構主義忽略了數學對象的本質，脫離了部分數學實踐的支持，使得對于數學對象的解釋存在缺陷。

【關鍵詞】夏皮羅先物結構主義；哲學觀念；理論困境

與一般科學哲學的發展進程不同，數學哲學的研究始終保持著對傳統哲學論題的探討與批判。當代數學哲學論域中關于何為數學基礎，數學對象是否存在，如何認識數學真理的本質，數學方法何以可靠等仍是學者們探研的核心。在批判和繼承經典理論的基礎上，哲學家們在本體論、認識論和方法論上提出了具有各種特色的新成果。這些成果的一個共性體現為，數學哲學自身理論的建構與發展都與數學實踐密切相關。

一、夏皮羅先物結構主義的哲學觀念

自布爾巴基學派誕生以來，數學結構主義開始活躍于數學哲學的舞臺，現已成為當代數學哲學的重要學說。結構主義在對數學本體論問題的研究上，始終關注數學對象的存在問題。該問題在哲學層面上有以下兩種解釋：一種是遵照柏拉圖主義的先物結構主義（ante rem structuralism），主張數學研究的核心是抽象結構；另一種則是與唯名論切合的在物結構主義（in re structuralism），主張數學研究的核心是具有抽象結構形式的系統或者模型。

先物結構主義的觀念源自柏拉圖的先物實在論。先物實在論指出，至少某些共相先于并且獨立于例示它們的任何事項存在，可以認為即使沒有紅色的事物，紅性這種性質依然存在。對于先物結構主義者而言，結構作為研究的對象是合理的，而且獨立于能夠例證它的任何系統。例如，在一個結構中，結構的存在是合理的，數字作為指稱真實對象的真實單稱詞項對應了結構中的位置，并且結構中的任何位置都無法獨立于結構單獨存在。

相反，在物結構主義基于亞里士多德在物實在論的觀點認為，通過把數學對象的命題作為特定類型結構的普遍命題能夠消去數學對象與結構的指稱。這種觀點強調結構對應的普遍命題一旦受到質疑，數學對象的指稱也將失去意義。類似于一旦去掉了紅色的事物，紅性也會隨之消失。例如，算術命題不是關于對象的特殊聚合的命題，只是對某種類型的所有系統的概括，這里不能把數學對象或結構當作真正的對象。

夏皮羅作為先物結構主義代表人物，一方面繼承了弗雷格（G.Frege）、哥德爾（K.G?del）、奎因（Quine）的數學柏拉圖主義，主張算術研究的“數”作為對象，獨立于非數學世界而存在；另一方面為了避免傳統柏拉圖主義在本體論和認識論上的漏洞，給出了關于數學對象的全新解釋。他以數學的本質即結構這一根本宗旨為基礎，認為結構的存在應是質樸的、非平凡的，提出了把結構作為一種獨特共相的先物結構主義。該理論的核心是，結構作為研究的本體，先于對象和例證它的任何系統獨立存在，定義結構中最小的項為“位置”，主要研究結構的位置及位置之間的關系。

關于結構的獨立性，夏皮羅認為像實分析、歐式幾何、拓撲學等不同數學理論的研究滿足各自的公理系統。例如，實分析研究的是任何完全實閉域的模式，而歐式幾何研究的是歐式空間的理論要素，因而不同的結構具備不同的研究對象，對象占據了結構中的位置。由此，夏皮羅指出結構的位置是真實存在的。他指出，如果一個數學對象分支的公理是可滿足且范疇的，那么公理就刻畫了一個（單一的）結構，并且公理能夠真實地描述這個結構，同時對該結構也為真。夏皮羅稱這種觀點是“位置即對象”（Place-are-objects）。按照該觀點，算術研究的對象是一個單一的抽象結構，該無窮對象集合有一個共有的模式，即擁有單獨的后繼、唯一的初始對象并且滿足歸納原理，對于該結構的研究對象——數是自然數結構中真正的對象。例如，數2作為自然數結構中第二個位置，是數3的前導和數1的后繼，它不能獨立于其他自然數存在，因為一個自然數的本質是它與其他自然數的關系。在先物結構主義中，夏皮羅用系統代指位置及位置之間的關系。他指出，系統作為一個對象的集合連同這些對象之間的某些關系能夠充分地解釋和說明結構的位置。

夏皮羅指出一些真實的理論實際上是一些結構的各種不同系統，系統能夠例證這些結構的位置。他提出了一種“位置即職位”（Place-are-offices）觀點。例如，把數學的每個領域還原或者描述為集合論時，策梅羅提出的數字符號是：Ф、{Ф}、{{Ф}}、{{{Ф}}}…即如果y是x的后繼，那么y={x}。而馮·諾依曼序數卻定義：Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}、{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}…即如果y是x的后繼，那么y=x∪{x}。對于這兩種通過集合來表現的數，哪一種才是真正的數學對象？數3究竟是什么？夏皮羅認為，這兩種序數是真實的數學對象，{{{Ф}}}和{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}是自然數結構中第三個位置的不同對象。這類似于一家公司的一個固定職位不指代一個固定的人，因為這個職位的擁有者可以是任何人，雖然這個職位的擁有者眾多，但是這個職位卻是單一且固定的。那么夏皮羅指出，雖然解釋結構位置的系統是眾多的，但是結構的位置卻是單一的。策梅羅數和馮·諾依曼序數作為兩種對象能夠說明自然數結構中的位置，但這兩種對象基于不同的背景并不具備同一性。

夏皮羅通過運用“位置即對象”和“位置即職位”的觀點，給出了一種符合數學實踐的結構主義解釋。他認為在先物結構主義中，結構的位置具體是指對象還是職位，這完全取決于數學實踐，因而一個對象可以對應不同結構中的位置。例如，自然數結構能夠例示負的全實數結構，或者偶數能夠例示自然數結構等。特別地，對于每一個結構而言，它都能夠例示自身，并且位置就是對象。例如，1=1，自然數結構本身例示了自然數結構。所以夏皮羅認為，先物結構主義克服了傳統柏拉圖主義難題符合數學實踐，能夠給出數學明晰的解釋。

二、夏皮羅先物結構主義的理論困境

盡管夏皮羅在對數學本質的解釋上有所突破，但始終沒有擺脫先物結構主義本身的理論困境。

首先，夏皮羅沒有解釋數學對象的本質。因為當先物結構主義從實在論的角度來解釋結構主義的本質時，將結構作為研究的本體，認為只要數學對象能夠充分例示結構中的位置就一定真實存在。例如，數3和策梅羅{{{Ф}}}都例示了自然數結構中的第三個位置，所以在本體論上，先物結構主義者認為數3和策梅羅{{{Ф}}}是真實存在的不同數學對象。但是，即使數3和策梅羅{{{Ф}}}依賴于結構的位置，也無法確定數3和策梅羅{{{Ф}}}的本質。某種意義上，先物結構主義將結構的位置退化為數學對象，沒能從根本上解決傳統柏拉圖主義的認識論難題。

其次，夏皮羅沒能闡明數學對象的同一性。不同于弗雷格定義的對象等同性，夏皮羅認為把不同結構的位置等同起來可以是直接的或者強制的。例如，自然數結構的位置可以等同于它們在整數、有理數、實數和復數中的相應位置，即自然數1等同于整數1、有理數1、實數1和復數1+0i。但是這種結論忽略了數學實踐能夠在具體問題中區分出不同數學對象的觀點。根據奎因（Quine）的“絕對可辨識”理論，可以肯定數學對象之間的關系。但是夏皮羅對于數學對象不可辨識一致性的理解只是將微弱可辨識性作為一種保留數學的獨特方式，并不能在認識主體與認識客體之間建立一種正確的可認知性，而這將會嚴重影響人們對數學真理的信念。

再者，夏皮羅沒能避免結構主義與數學實踐的矛盾。即使先物結構主義者始終將數學實踐作為研究的前提條件，但是在例示結構的位置時，往往與數學實踐產生矛盾。比如，數3的位置可以由策梅羅{{{Ф}}}和馮·諾依曼{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}例示，這里的數3是“職位”。而對于“3是2的唯一后繼”，數3是對象。所以根據“位置即職位”和“位置即對象”的觀點，自然數位置的本質是相對的。可是數學實踐卻證實，自然數是有限的馮·諾依曼序數，不是策梅羅數，所以“位置即職位”的觀點對于自然數結構便是失效的。此外，先物結構的研究也無法涵蓋數學的所有分支，對于集合論和解析函數等，很難給出先物結構主義的解釋。

三、結束語

不同于傳統的本體實在論，夏皮羅先物結構主義強調數學是結構的科學。結構作為研究的核心獨立于結構中的位置。根據“位置即對象”以及“位置即職位”的解釋，數學對象對于特定的結構不具備獨立性能夠例示不同結構的位置。但是，夏皮羅并沒有對數學對象的本質做出明確的、合理的解釋，并且先物結構主義理論本身也與數學實踐存在矛盾，因此夏皮羅先物結構主義在傳統的柏拉圖主義上不構成實質性的進步。

事實上，對于數學本質的解釋并不存在一種固定的哲學說明，數學本質的含義往往受到數學實踐的影響。雖然夏皮羅先物結構主義是不完善的，但是先物結構主義仍然為數學哲學本體論的研究提供了新的思路，同時引起了數學哲學家們對于數學實踐的重視。只有當數學哲學的理論支持數學實踐時，才能獲得正確的、合理的解釋。

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