模擬Lorenz混沌系統電路設計

杜傳紅++劉立才++張謝馥++盧春華

摘 要：作為三大最經典混沌系統之一的Lorenz系統，由于其三階Lorenz系統中含有兩個非線性項xz和xy，電路實現困難。文章采用雙極轉換常加上數絕對值函數的方法來替換非線性項，實現了一類模擬三階連續自治Lorenz系統的電路。

關鍵詞：Lorenz系統；吸引子；拓撲結構；電路設計

1 概述

最近十多年來，由于混沌控制與可同步、混沌信號寬頻譜及偽隨機特性，人們發現混沌在很多領域是有用的，或者存在巨大的應用前景，如電力系統崩潰保護，信息處理，低能耗流體混合，生物醫學工程，人腦和心臟中的混沌現象分析，混沌保密通信等。所有這些應用前景都強烈地驅使人們去研究混沌的控制與同步，混沌的反控制與反同步。在應用混沌技術的過程中，都往往需要有目的地生成混沌，或者強化現存的混沌行為，最終通過電路設計來產生混沌信號和實現混沌動力學行為。[1]

本文介紹一種實現三階模擬Lorenz系統的電路設計方法，從電路仿真結果可以看出，該電路可以實現三階Lorenz系統類似蝴蝶狀吸引子的拓撲結構。

2 三階連續自治三階Lorenz系統模型

三階連續自治Lorenz系統模型（1）是一個三階連續自治系統且含有兩個非線性項xz和xy。這兩個非線性項使系統（1）產生分岔、混沌等復雜的動力學行為，但同時它們又使得混沌系統的電路實現變得困難。

方程（2）中不再含有二次項，所以它很容易用電路來實現，但它能夠產生蝴蝶狀的混沌吸引子，同時具有類似于Lorenz系統的一些定性特征。控制器m可以將系統的軌線限制在對稱軸的左邊或右邊，分別得到左半吸引子和右半吸引子，且左、右半吸引子在m=0時可形成整個蝴蝶型吸引子。

4 模擬Lorenz系統電路實現

在圖1所示電路中，放大器A1-A5是電流反饋運算放大器， 由于其具有極佳的動態特性經常用在高速運算系統中。通過一個全波段的整流器來實現非線性項|x|，雙極轉換常數K通過四個MOS晶體管開關和一個相連的比較儀來實現。選擇C1=C2=C3=C，R1=R2=R1=R3=R，Ra=R/a，Rc=R/c，V1=mVI，Vb=bVI，其中VI是任意一個規范化的電壓，x=VX/VI，y=VY/VI，z=VZ/VI。則此電路可以實現方程（2）。

5 結束語

在工程應用中，用電路來從物理上來實現Lorenz系統，意義重大。本文介紹一種非常近似地實現Lorenz系統的電路，在本電路中非線性項|x|的偶對稱的本質決定了系統（2）在|m|<0.01時，通過一個鏡像映射實現兩個連續“翅膀”的蝴蝶型吸引子。

參考文獻

[1]辛方.新分數階混沌系統的電路仿真與控制[D].哈爾濱工程大學，2011.

[2] 李冠林.分段線性混沌系統及其電路綜合的研究[D].哈爾濱工業大學，2008.