一種提高軌道預測精度的遞推估值算法

張 冰，喬建江

(中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

一種提高軌道預測精度的遞推估值算法

張 冰，喬建江

(中國電子科技集團公司第五十四研究所，河北 石家莊 050081)

測控雷達系統必須具有跟蹤目標速度快、精度要求高等特點，并且當目標信號受到障礙物遮擋目標丟失后，要求測控系統能夠對目標運行軌跡進行精確預測，提高目標重新出現后的重捕概率。為了提高軌道預測精度，在軌道跟蹤算法基礎上引入了最小二乘法數據外推理論，使用最小二乘法對丟失后的目標軌道數據進行了預估值外推分析，并針對最小二乘法數據外推隨著時間增長精度快速變差的缺點，引入了遞推的最小二乘法。通過實驗和數據分析表明，使用遞推最小二乘法能夠大幅度提高目標丟失5 s內的軌道預測精度，滿足雷達測控系統記憶跟蹤和目標重捕的要求。

軌道預測；遞推估值；最小二乘法；記憶跟蹤

0 引言

為了完成航空或航天飛行器再入飛行境內段航區和著落段航區的遙控、遙測、跟蹤定位和圖像傳輸等任務要求，測控系統需要對目標進行快速地捕獲跟蹤，為了能使跟蹤系統正常工作，當目標信號受到障礙物遮擋丟失時，要求對跟蹤目標軌道進行預測，一旦目標重新進入視場，能夠快速準確地對目標實施重捕[1-2]。跟蹤目標軌跡預測實質是利用目標進入盲區前飛行測量數據，估出各階導數推出目標飛行軌跡進行跟蹤，從而使目標出盲區時不丟失[3]。目前使用較普遍的方法是拉格朗日插值算法和牛頓插值算法，拉格朗日插值算法在差值區間中部插值精度較高，但在靠近插值區間兩端則會出現龍格現象，影響整個插值的精度，從而限制了其在數據處理和擬合中的應用[4]。而牛頓插值算法插值數據較多時，需要大量的計算時間，從而影響系統實時性[5]。此外，目標發生機動時，由于運動的速度和方向發生改變，也會造成實時跟蹤的困難，為了補償跟蹤誤差，達到實時、穩定跟蹤目標的目的，本文在分析了傳統最小二乘法軌道預測精度的基礎上，提出了一種實時遞推的最小二乘預測跟蹤算法，能夠滿足大多數雷達測控系統中對目標丟失后重捕的需要[6]。

1 最小二乘法

最小二乘法是一種數學優化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配，它用最簡單的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小[7]。為了確定n個不可直接測量的未知量X1，X2，…，Xn的估計量x1，x2，…，xn，可對該n個未知量Yn進行直接測量，測得數據為l1，l2，…，ln。設未知量Y1，Y2，…，Yn的估計值用y1，y2，…，yn表示，則線性參數的測量方程為：

(1)

相應的估計量為：

(2)

由于測量誤差的存在，估計值與實測值不完全相等，其誤差方程為：

(3)

由最小二乘法可知，參數的最佳值應該在殘余誤差平方和為最小的條件下給出，即應滿足

(4)

利用極值的偏導數為零的性質，現用殘余誤差平方和對t個未知量求偏導，并令其為零，可得到t個方程，整理后得：

(5)

此方程即為線性參數最小二乘法的正規方程，方程的個數等于未知量的個數，有唯一確定的解，將其表示為矩陣形式：

(6)

令

則式(6)可表示為：

ATV=0。

(7)

式(3)可表示為：

(8)

把式(7)代入式(8),得

(9)

由此可得未知量最佳估計值的矩陣解為：

(10)

本系統中選用的二次拋物線擬合函數為：

y=b0+b1x+b2x2。

(11)

待定系數有3個，即b0，b1和b2。設定輸入值x即為采樣時刻，做變量變換,

α0=1，α1=x，α2=x2。

(12)

則原函數變為:

y=b0α0+b1α1+b2α2。

(13)

設選定觀測次數為n，則

(14)

在確定了觀測次數n后，矩陣A可完全確定，那么在計算式(1)中，[ATA]-1AT可視為已知，可預先計算其結果并作為數據表存于程序中，從而大大減少了程序執行過程中的運算量，節省程序的處理時間。

若令

T=[ATA]-1AT，

(15)

則計算式(10)變為:

(16)

這樣，將矩陣T作為數據表放在程序末端，實際上求擬合曲線的參數只需要進行一次矩陣與列向量之間的乘法運算就可以了。

2 數據預測與結果分析

預測精度是反映預測效果好壞的重要指標[8]，本文中采用系統隨機誤差來度量預測效果的好壞，目標角度預測值的系統隨機誤差表示如下：

采用某雷達天線實際測角定位數據作為試驗數據，首先分析了通過使用不同觀測點，預測不同時刻產生的系統隨機誤差，如圖1所示。

圖1 觀測值數據個數對預測值誤差影響

從圖1中可以看出，對于系統模型數據，當觀測點為5個時，通過最小二乘法預測的軌道數據與實際數據產生了很大的偏差，并且隨著預測點數的增加，誤差急劇增大，最終導致了數據的發散。隨著觀測點數逐漸增加，預測數據與理論數據的偏差逐漸減小，但是當觀測點個數超過某個程度時，預測數據的隨機誤差再次增大，因此對于觀測個數n的確定，需要根據系統的狀態特征等多種因素綜合考慮，如果n取值太小，容易造成較大的變化幅度，導致預測數據誤差較大；當n取值太大的時候，預測公式對于系統的變化反應速度較慢，預測值不能及時反映出系統的真實變化規律，同樣造成較大的誤差[10]。

通過上面的試驗數據可知，當觀測次數為50時得到了較好的預測估值效果，基本上可以滿足一般系統的需求，采用50次觀測數據進行外推估值結果與實際測量數據結果對比如圖2所示。從結果中可以看出，隨著估值量的增加，誤差仍然在不斷增大，當估值量達到一定程度后，系統仍然有發散的趨勢。為了解決以上問題，可以引入遞推最小二乘法。

遞推最小二乘法就是當被辨識系統在運行時，每取得一次新的觀測數據后，就在前一次估計結果的基礎上，利用新引入的觀測數據對前次估計的結果根據遞推算法進行修正，從而遞推地得出新的參數估計值，這樣隨著新的觀測數據的逐次引入，一次接一次地進行參數估計，直到參數估計值達到滿意的精確度為止。采用遞推最小二乘法進行數據外推結果如圖3所示。從分析數據中可以看出，遞推最小二乘法估值數據能夠真實有效地反映實際數據的變化趨勢，估值數據總體精度得到了很大的提升。

圖2 目標觀測值與預測值比較

圖3 采用遞推算法觀測值與預測值比較

當目標進入盲區導致信號丟失后，測控系統自動轉入記憶跟蹤工作方式，并且通常要求在5 s內能夠準確預報目標運動軌跡，完成重新發現目標后的自動重捕[11]。從上述的分析中可以看出，使用傳統的最小二乘法預測目標軌跡誤差隨著時間的推移急劇增大，無法滿足記憶跟蹤對目標重捕的要求。而使用遞推最小二乘法，通過將系統測量數據對前次的估值結果進行不斷地修正，可以大幅度提高估值精度，減小估值誤差，在5 s內的估值結果完全能夠滿足對目標重捕的需要，提高了目標捕獲概率。

3 結束語

遞推最小二乘法在軌道預測方面具有計算簡單、實時性強和預測精度高等優點，但其預測精度受到觀測數據的選取和外推數據長度等因素的影響，只有通過合理選取觀測數據，才能獲得一定時間內的高精度預測數據。

由上述分析可以看出，該算法解決了以往算法預測精度低、計算復雜等缺點，在雷達測控領域的應用完全能夠滿足系統軌道預測和記憶跟蹤的需求，配合跟蹤方式的適當調整，可以達到目標丟失后的快速重捕和穩定跟蹤的目的，相比于常規的軌道數據預測算法具有一定的優勢。

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張 冰 男，(1981—)，碩士，工程師。主要研究方向：測控雷達伺服控制系統。

喬建江 男，(1974—)，碩士，高級工程師。主要研究方向：測控雷達伺服控制系統。

Recursive Estimation Algorithm for Improving Orbit Prediction Precision

ZHANG Bing,QIAO Jian-jiang

(The54thResearchInstituteofCETC,ShijiazhuangHebei050081,China)

The antenna of TT&C system must have characteristics of high dynamic capability and high measurement precision.When the signal is shielded from the antenna and the target is lost,it is required to predict the orbit and re-capture the target quickly.The least square method is analyzed to improve the measurement precision.A recursive-estimation algorithm is used to solve the problem of the least square method in satellite orbit forecast.The test and data analysis indicate that the orbit prediction precision is improved greatly through the recursive-estimation algorithm,and it can meet the requirement of memory track and target re-capture.

satellite orbit forecast;recursive-estimation algorithm;least square method;memory track

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.05.20

張 冰,喬建江.一種提高軌道預測精度的遞推估值算法[J].無線電工程,2017,47(5):84-86，94.[ZHANG Bing,QIAO Jianjiang.Recursive Estimation Algorithm for Improving Orbit Prediction Precision[J].Radio Engineering,2017,47(5):84-86，94.]

2017-02-28基金項目：國家重點基礎研究發展規劃基金資助項目(2013CB37900)。

TN850

A

1003-3106(2017)05-0084-03