圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)帶電粒子運(yùn)動(dòng)方向的作用

張曉麗

摘要：從圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界上同一點(diǎn)入射的帶電粒子束，經(jīng)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫械膸щ娏Ｗ邮?，該現(xiàn)象的逆過(guò)程就是通常所說(shuō)的磁聚焦.文章首先運(yùn)用中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出射角的余弦隨入射角變化的函數(shù)表達(dá)式.根據(jù)該表達(dá)式討論得出：粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑不相等時(shí)出射角α的范圍，兩半徑相等時(shí)出射角為90°的結(jié)論.目的在于使人們認(rèn)識(shí)到磁聚焦及其逆過(guò)程只是磁偏轉(zhuǎn)在某些條件下的特定結(jié)果，提升對(duì)這一問(wèn)題的認(rèn)識(shí).

關(guān)鍵詞：圓形區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)；入射角；出射角；入射速度；出射速度

1一般性分析

在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，從磁場(chǎng)邊界上的點(diǎn)O向各個(gè)方向發(fā)射完全相同的帶電粒子，粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子速度的大小均為v.為方便起見(jiàn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，通過(guò)O點(diǎn)圓形磁場(chǎng)區(qū)域，直徑OA方向?yàn)閤軸正方向建立直角坐標(biāo)系.從O點(diǎn)沿任意方向發(fā)射的一個(gè)帶電粒子，速度方向與x軸正向成θ角為入射角，圓形磁場(chǎng)區(qū)域和粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，磁場(chǎng)區(qū)域圓心和粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心分別為O1、O2，出射點(diǎn)為B，出射速度的反向延長(zhǎng)線與x軸交于C點(diǎn) ，出磁場(chǎng)速度方向與x正向成α角為出射角，∠BOC=β，∠OBC=r.粒子受洛倫茲力作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有

Bqv=mv2r

解得r=mvBq

由圖1可知：

OB=2Rcosβ

OB=2rcos（90°-θ-β）=2rsin（θ+β）

由此可得：

2Rcosβ=2rsin（θ+β）

運(yùn)用兩角和的正弦公式，得

2Rcosβ=2r（sinθcosβ+cosθsinβ）

兩邊同除以2cosβ，解得

tanβ=R-rsinθrcosθ

又由圖看出：

γ=90°-（90°-θ-β）=θ+β

所以，出射速度與x軸正向成的角

α=β+γ=θ+2β

根據(jù)三角函數(shù)中的萬(wàn)能公式，得

sin2β=2tanβ1+tan2β=2R-rsinθrcosθ1+R-rsinθrcosθ2

=2rcosθ（R-rsinθ）r2+R2-2Rrsinθ（1）

cos2β=1-tan2θ1+tan2θ=

r2cos2θ-R2-r2sin2θ+2Rrsinθr2+R2-2Rrsinθ（2）

根據(jù)兩角和的余弦公式，得

cosα=cos（θ+2β）=cosθcos2β-sinθsin2β（3）

將（1）、（2）兩式代入（3）式，得

cosα=cosθr2cos2θ-R2-r2sin2θ+2Rrsinθr2+R2-2Rrsinθ

-sinθ2rcosθ（R-rsinθ）r2+R2-2Rrsinθ

對(duì)上式化簡(jiǎn)，得

cosα=（r2-R2）cosθR2+r2-2Rrsinθ（4）

將cosα對(duì)θ角求導(dǎo)數(shù)，得

（cosα）′θ=（r2-R2）（-sinθ）（R2+r2-2Rrsinθ）（R2+r2-2Rrsinθ）2

-（r2-R2）cosθ（-2Rrcosθ）（R2+r2-2Rrsinθ）2

化簡(jiǎn)，得

（cosα）′θ=（r2-R2）[2Rr-（R2+r2）sinθ]（R2+r2-2Rrsinθ）2（5）

粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的入射角θ的范圍：-90°≤θ≤90°.

由（4）式可以看出：當(dāng)r≠R時(shí)，出射角α隨入射角θ的變化而變化，入射角θ不同的粒子，出射方向不同，帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)仍是沿各方向運(yùn)動(dòng)的，不過(guò)由于粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑r的不同出射角α所在的范圍不同，下面分情況討論.

11r﹤R的情況

當(dāng)r0，（cosα）′θ<0，隨θ角的增大，cosα減小，出射角α增大；當(dāng)sinθ>2RrR2+r2時(shí)，2Rr-（R2+r2）sinθ<0，（cosα）′θ>0，隨θ角的增大，cosα增大，α減小.

12r>R的情況

當(dāng)r>R時(shí)，根據(jù)（4）式，無(wú)論入射角θ多大，因?yàn)镽2+r2-2Rrsinθ>0，cosθ≥0得到cosα≥0，α≤90°，粒子在磁場(chǎng)邊界上向右上方射出.根據(jù)（5）式，當(dāng)sinθ<2RrR2+r2時(shí)，2Rr-（R2+r2）sinθ>0，（cosα）′θ>0，隨θ角的增大，cosα增大，出射角α減?。划?dāng)sinθ>2RrR2+r2時(shí)，2Rr-（R2+r2）sinθ<0，（cosα）′θ<0， 隨θ角的增大，cosα減小，α增大.

r=R的情況完全不同于前面兩種情形.

2非常有意思的r=R的特殊情況

r=R也就是帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑等于圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的半徑時(shí)，由（4）式可以知道： 無(wú)論入射角θ多大，因?yàn)閞=R，總有cosα=0，于是α=90°，這說(shuō)明所有的帶電粒子到達(dá)磁場(chǎng)邊界時(shí)出射角都相同，都垂直于圓形磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)入射點(diǎn)的直徑，發(fā)散的帶電粒子束通過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)槠叫械膸щ娏Ｗ邮?，但入射角θ不同的粒子出磁?chǎng)時(shí)速度方向的偏轉(zhuǎn)角仍然是不相同的.

這種情況如圖2所示.證明如下：∵ r=R，∴ OO1=O1B=O2B=OO2=R，因而四邊形OO1BO2是菱形，出射速度V垂直于粒子勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑O2B，而O2B∥OA，出射速度V當(dāng)然也就垂直x軸了.

同樣地，一束完全相同的帶電粒子平行入射到一個(gè)圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上，各粒子速度的大小相同，粒子受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如果粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r等于圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑R，所有粒子偏轉(zhuǎn)后的軌跡將通過(guò)磁場(chǎng)邊界上的同一點(diǎn).這一問(wèn)題是上面的問(wèn)題的逆過(guò)程.