勻變速直線運動速度反向問題明析

肖紅杰

摘要：本文旨在解決勻變速直線運動反向問題，通過對速度反向的勻變速直線運動分段求解和全過程用勻變速直線運動規律求解進行對比，讓學生明確反向勻變速直線運動的解題規律.通過對運動學規律標量形式和矢量形式對比，熟練掌握用全程勻變速直線運動規律解決加速不變的反向運動問題.

關鍵詞：加速度；勻變速直線運動；速度反向

勻變速直線運動是高中物理常見且重要的一種運動形式，勻變速直線運動是力和運動關系的一種表現形式.從運動的性質分析，勻變速直線運動是速度均勻變化的直線運動，它分為兩種形式：速度均勻增加的勻變速和速度均勻減小的勻減速；從力和運動關系分析，分為合力方向與速度方向始終相同的勻加速和合力方向與初速度方向相反的勻減速，其中，合力方向與初速度方向相反，物體有可能停下來，也有可能速度減為零后繼續反向加速，因為力的方向沒有變化，但速度減小到零后只能沿力的方向加速，與原來的運動方向顯然相反，然而很多同學對于勻變速直線運動速度反向的直線運動形式處理起來不太順手.本文通過幾道例題分析關于速度反向的勻變速直線運動的解題思路.

例1一個人站在一座很高的樓頂的邊緣，將一物體以20m/s的初速度豎直向上拋出.忽略空氣阻力，重力加速度大小g=10m/s2，求t=5s時物體的速度和5s內的位移.

解析：我們知道，豎直上拋是一種特殊的勻變速直線運動，它可以分為豎直向上的勻減速和自由落體兩個階段.而運動學公式只有規定了正方向才可以給出，一般設初速度方向為正，初速度為零的則以加速度方向為正，實際上也是初速度方向，因為物體從靜止出發，只能沿加速度方向運動.因此，一種運動形式也就有了兩個正方向，上升是豎直向上為正，下降是豎直向下為正.這樣解出的位移也就沒有負數，只有正數.

方法1：如果把運動分成上升階段和下降階段，初速度為20m/s，加速度大小為10m/s2，由于物體做減速運動，根據加速度定義，速度每秒減小10m/s，2s減為零，剩下3s，顯然開始做自由落體運動，即做初速度為零的勻加速，根據加速度定義式，速度每秒增加10m/s，則再經3s速度大小變為30m/s，顯然與初速度方向相反.再分別求出2s位移的大小和后3s位移的大小可求5s內的位移.

解：取向上為正，設上升時間為t1，下降階段時間為t2 ，則

上升階段v=v0-gt1=0 所以t1=2s

位移大小x1=v0t1-12gt21=20m

下降階段v=gt2=30m/s

位移大小x2=12gt22=45m

分析可知，5s末的速度為-30m/s，負號表示與初速度方向相反；5s末時物體顯然在拋出點下方25m處，所以位移為Δx=-25m，負號表示在拋出點下方，位移為負值.

方法2：由于全過程加速度大小和方向都沒有發生改變，即加速度恒定，加速度不變的直線運動就是勻變速直線運動，可以考慮全過程用運動學公式求解.

解：取豎直向上為正，令加速度a=-g=-10m/s2，則

v=v0+at=-30m/s

x=v0t+12at2=-25m

由以上兩種方法對比可知，只要加速度不變，雖然運動方向反向，勻變速直線運動的規律仍然是可以直接應用的，第一種方法，公式中字母只代表該物理量的大小，我們稱為“標量法”.而第二種方法，公式中所有字母都代表該物理量，即如果是矢量每個字母本身都是有方向的，在直線運動中用“+”“-”表示方向，我們把第二種方法稱為“矢量法”.用矢量法一定注意規定正方向，與正方向相同的矢量必然為正，與正方向相反的矢量必然為負.對比可知，對于加速度不變的先減速后反向加速的直線運動采取矢量法更簡潔，對于復雜的問題更容易計算.顯然公式v=v0+at①，x=v0t+12at2②的矢量式可用于此種情況，把①式中加速度代入②式，可得：x=v0+v2t，顯然該公式的矢量式也可用于速度方向問題.很容易可以推出所有的運動學公式的矢量形式都可以用于先減速后反向加速問題.

為了方便理解，表1給出所有的基本運動學公式減速運動時的矢量式和標量式.當然對于加速變量式和矢量式形式上沒什么區別.

表1

矢量形式標量形式

v=v0+atv=v0-at

x=v0t+12at2x=v0t-12at2

x=v0+v2tx=v0+v2t

v2-v20=2axv2-v20=-2ax

特別注意的是，左側公式中的a表示加速度的大小和方向，右側公式中的a僅表示加速度的大小.

例2有一物體置于光滑水平面上，一水平恒力F1使物體從某點由靜止加速，經過一段時間后取消F1，同時加一相反方向的水平恒力F2，經過相同時間物體回到原來的出發點，求：

（1）第一段時間與第二段時間的末速度大小之比；

（2）加速度大小a1與a2的比值；

（3）F1與F2之比為多少？

分析：根據例1的分析，先減速后加速的速度方向問題我們采取全程的矢量法，本題分為三個過程：先加速，后同向減速，再以同樣的加速度大小反向加速，顯然是經過了速度反向的勻變速直線運動.可以將它分成兩個過程：第一段時間的勻加速和第二段時間的勻變速來處理.如果第一段時間物體從A位置運動到了B位置，第二段時間則是從B位置回到了A位置，即經過相同的時間回到出發點，根據位移的定義可知兩段時間位移大小相等方向相反.

解：取恒力F1的方向為正，第一段時間的末速度為v1，第二段時間的末速度為v2，而v1為第二段時間的初速度，速度時間圖象如圖1所示，則

（1）第一段時間位移

x1=0+v12t

第二段時間位移x2=v1+v22t

它們的方向相反x2=-x1

由以上各式解得v2=-2v1

則速度大小之比v1v2=12

（2）a1a2=v1-0tv2-v1t=13

（3）F1F2=ma1ma2

a1a2=v1-0tv2-v1t=-13

∴F1F2=-13

例3火車站上由于工作人員操作失誤致使一節車廂以4m/s的速度勻速滑出了車站，此時在同一軌道上一列火車正在以72km/h的速度勻速駛向車站，技術嫻熟的火車司機突然發現這種緊急情況后，立即以大小為08m/s2的加速度緊急剎車，之后又立即以此加速度使火車反向加速運動，若車廂與火車相遇恰好不相撞（圖2）.求：

（1）司機發現車廂向自己駛來開始制動到剛好相遇用的時間；

（2）司機發現車廂向自己駛來開始制動時離車廂的距離.

分析：設火車初速度方向為正，則車廂的速度為負， 因為車廂勻速，顯然只要火車速度方向不反向，就會相撞，當火車速度減小到零后開始反向，便形成了車廂追火車的追及問題，由于火車反向后加速，它們速度相等時如果車廂不能追上火車，距離就會越來越大，便不可能相遇.那么車廂與火車剛好相遇的條件是，速度相等時，車廂恰好追上火車.

解：取火車初速度方向為正，即如圖3所示向右為正，則火車初速度為v1=20m/s，車廂勻速的速度為v2=-4m/s，火車的加速度為a=08m/s2.

（1）車廂與火車速度相等時，剛好相遇，則有

v1+at0=v2所以t=30s

（2）本問可以理解為，火車和車廂剛好相遇，求火車剛減速時與車廂的距離，在火車減速到和車廂速度相等這段時間內，火車位移為x1，車廂位移為x2，則

x1=v1t0+12at20=240m

（位移為正，說明從火車向右減速到它們相遇時火車向右行駛240m）

x2=v2t0=-120m（位移為負，說明從火車向右減速到它們相遇時，車廂向左行駛120m）

顯然，司機發現車廂向自己駛來開始制動時離車廂的距離為：

Δx=|x1|+|x2|=360m

另解：為了更好地對比矢量法和標量法，本題用標量法來重新做一遍，以方便對比.

解：（1）由于火車速度反向，我們把火車運動分成加速和減速兩個階段，設火車從減速到減速到零的時間為t1，火車反向后到和車廂速度相等的時間為t2，則火車速度減到零.因此，有

v1-at1=0 則：t1=v1a=25s

火車反向加速到與車廂速度相等，有

v1=at2=v2則：t2=5s

∴剛好相遇時間t0=t1+t2=30s

（2）從火車開始減速到火車反向后和車廂速度相等，火車先向右減速后向左加速，則向右的總位移為：

x1=（v1t1-12at21）-12at22=240m

雖然是標量法，但兩段位移相減為負值，可判定火車總體向左運動，兩段位移相減為正值，總體向右運動.

這段時間內車廂向左行駛的位移大小為：

x2=v2t0=120m

經分析可知，剛好相遇的情況下，火車減速時距車廂距離為：Δx=x1+x2=360m

顯然，第一種方法計算簡潔，但第二種方法過程明了，如果借助圖象，熟練后過程基本沒有區別.