略論物體在高空中的重力勢能

王金聚

摘要：高空中物體的重力勢能該如何表達，本文通過縝密推理，給出了幾種表達形式，并指出了一些常見的錯誤認識.

關鍵詞：高空物體；重力勢能

物體在地球表面附近的重力勢能表達式為Ep=mgh.若物體離地面的高度h足夠大，則h高處的重力加速度g′與地表附近的重力加速度g會有明顯的不同.本文介紹選取地球表面為參考平面情況下物體的勢能表達式.

如圖1所示，用M表示地球的質量，R表示地球的半徑，m表示物體的質量，r表示物體距地心的距離，依據重力做功與重力勢能變化的關系，物體從地面升高到h高處克服重力做了多少功，物體就具有多少重力勢能.

∴Ep=W-∫R+hRGmMr2dr=GmMR-GmMR+h=GmMhR（R+h）.

在學生積分知識還未觸及的情況下，我們還可以借助“微元法”來推導上述引力勢能的表達式，過程如下：

由于物體在上升的過程中所受地球的引力在不斷減小，這就牽涉到要計算克服變力做功的問題，為此，我們把物體從地表到h高處的這段距離分割成無數個相等的小段，每一段的長度Δr都足夠小，如圖1所示，圖中r1、r2、r3……分別表示各分割點到地心的距離，每小段的高度Δr= r1- R= r2- r1= r3- r2=……，物體在升高過程中經過每一段Δr需克服引力做功的值分別記為ΔW1、ΔW2、ΔW3……

在第一段Δr上物體需克服地球引力所做的功為ΔW1=GMr2（r1-R），其中地球引力GMmr2在物體從R升高至r1的過程中不斷減小，所以應取該過程中的平均值，該平均值介于GMmR2～GMmr21之間，在Δr都足夠小的條件下，我們可以把該平均值近似地寫成GMmRr1，由此在該段上物體克服引力所做的功就可以寫成ΔW1=GMmr1R（r1-R）=GMm1R-1r1，同理可得：ΔW2=GMm1r1-1r2，ΔW3=GMm1r2-1r3，……ΔWn=GMm1rn-1-1rn，……

將上述各等式兩邊分別相加求和，即可得整個過程中物體克服引力所做的功為

W=∑∞i=1ΔWi=ΔW1+ΔW2+ΔW3……

=GMm1R-1r1+GMm1r1-1r2

+GMm1r2-1r3+……=GMm1R-1rn

由功能關系可知在離地面高h處的物體所具有的重力勢能應為

Ep=W=GMm1R-1R+h=GMmhR（R+h）（1）

設地球表面處的重力加速度為g，高h處的重力加速度為g′，則

GMmR2=mg（2）

GMm（R+h）2mg′（3）

結合（1）、（2）、（3）式可知，在選地面為參考平面的情況下，物體在h高處所具有的重力勢能可表示為

Ep=GMmhR（R+h）=mgRhR+h=mg′h（R+h）R（4）

由（4）式不難看出mg′h

由（2）、（3）兩式聯立可得g′=RR+h2g（5）

結合（5）式可推出勢能的平均值為

EP=mgh+mg′h2=mgh（2R2+2Rh+h2）2（R+h）2（6）

由（4）、（6）兩式可得

Ep-EP=mgRhR+h-mgh（2R2+2Rh+h2）2（R+h）2

=-mgh32（R+h）2<0，所以Ep

實際上，我們利用（2）、（3）兩式可大致畫出物體所受的引力隨物體到地心距離的關系圖象，如圖2所示，若以地面為參考平面，由功能關系可知物體在h高處所具有的重力勢能對應圖中陰影部分的面積，而平均勢能EP=mgh+mg′h2則對應包含陰影部分面積在內的直角梯形部分的面積，顯然，從圖中能更直觀地看出勢能Ep

綜上所述，高h處物體的重力勢能的大小介于mg′h和mgh之間，可表達為Ep=GMmhR（R+h）=mgRhR+h=mg′h（R+h）R等多種形式.