對等時圓的幾點思考

許文

摘要：本文總結了力學等時圓結論的幾種證明方法，探討其結論成立的條件，并從等時圓結論的一種證明方法中發現軌道不光滑時存在“另一等時圓”.

關鍵詞：等時圓；結論；條件

1力學等時圓

表述1：如圖1所示，從豎直圓環的最高點A向圓環內作多條不同的光滑的弦軌道，一小物體從A點自靜止開始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環上所用時間相等.

表述2：如圖2所示，B點為豎直平面內圓環的最低點，在圓環上向最低點B作多條不同的光滑弦軌道，一個小物體分別從這些軌道的上端點圓環上靜止開始自由下滑到軌道的最低點B所用時間相等.

圖1或圖2中的圓叫等時圓，以上兩點表述是關于等時圓的經典結論，這一結論可以遷移并應用到許多實際問題中，為問題的分析解決帶來了便捷.

2幾點思考

21結論的證明方法

211對表述1

證法1：如圖3所示，設圓的半徑為R，某一條弦軌道的水平傾角為α ，則該軌道的長度 s =2Rsinα，由牛頓運動定律知小物體在該弦軌道上無摩擦地下滑時加速度大小為a=gsinα ，下滑的時間為t ，由s=12at2，得t=2Rg（與α無關），即小物體從A點自靜止開始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環上所用時間相等.

證法2：建立如圖3所示的坐標系，設對任一水平傾角為α的弦軌道，加速度a=gsinα ，運動t 時刻小物體位置坐標為

x=12at2cosα，

y=-12at2sinα，消去可得：

x2+（y+gt24）2=（gt24）2，這是一個圓的方程.可見無論軌道的水平傾角α為何值，小物體從靜止開始沿不同的光滑直軌道下滑，運動相同的時間t，小物體在同一圓周上.

證法3：建立如圖4所示的極坐標系.設小物體從某點（r，α）沿傾角α的光滑直軌道下滑到O點的時間為t，則有

a=gsinα， r=12at2，

可得r=12gt2sinα=ksinα，這是一個圓的方程，其中k=12gt2，即小物體從靜止開始沿光滑的直軌道下滑到O點的時間t相同時，所有直軌道的起始點在同一個圓周上.

證法1是求出物體沿任一弦軌道下滑的時間t，發現結果t與軌道的特性（水平傾角α）無關，由此推知物體沿上端在圓的最高點的所有弦軌道下滑時間相等，這是容易想到的最基本的證法；證法2選取直角坐標系，求出物體沿任一直軌道下滑時間t的位置坐標（x，y），通過解析幾何知識發現小物體沿不同的光滑直軌道下滑，運動相同的時間t，小物體的位置分布在同一圓周上.這種證法巧妙地將物理問題轉化為數學問題，給人一種清新的感覺，是一種最為實用的證法；證法3思路同證法2，但選取的是極坐標系，過程較證法2簡潔，給人一種高屋建瓴之感，是一種最具內涵的證法.

212對表述2

證明：如圖5所示，過圓的最高點A分別作弦軌道CB、DB的平行軌道AC′、A D′.由于AC′與CB平行且等長，小物體從A點沿AC′滑到C′點時間與從C點沿CB滑到B點時間相等.同理可知小物體從D沿DB滑到B點與從A點沿A D′滑到D′點等時，由表述1知：小物體分別從任意兩軌道的最高點靜止開始無摩擦地沿兩軌道下滑到最低點B所用的時間相等.

22初速度不一定為零

如圖6所示，同一豎直平面內兩圓相切于B點（B點為下面圓的最高點），在兩圓內過B點作許多條光滑的直軌道（每條軌道的兩個端點都分別在這兩個圓周上）.則一個小物體分別從每條軌道的上端靜止開始下滑到軌道的下端所用時間相等.

證明：設上、下兩圓的半徑分別為 r 和R，過B點作任意一條軌道 1 ，設其兩端點分別為M、N .以r +R為半徑作一圓與原來兩圓分別切于最高點A和最低點C（如圖6所示），過A點作原軌道1的平行線AD，連CD，據幾何知識我們不難證明 CD與下面圓的交點即為N點，且AD與MN平行且相等.故物體從M 點沿軌道1靜止開始下滑到N點所需時間等于從A點沿AD 靜止開始下滑到D點所需時間，且等于從A點作自由落體運動到C點所需時間t=2R+rg；這與軌道1的水平傾角無關，即命題成立.

由等時圓的結論，我們可以看出，小物體分別沿圖6中最高點不在同一水平線上的軌道1和2的頂端靜止開始滑到B點的時間是相等的，但物體滑到B點時速度的大小卻不相同 ，而物體沿這兩條軌道運動的總時間卻是相等的，則物體分別沿這兩條軌道滑到B點以后在下面圓內的另一段軌道上運動的時間應是相等的.由此可見，前面給出的關于等時圓的結論中，物體自軌道的最高點不一定要從靜止開始下滑，結論才成立，可以有著不同的初速度下滑，結論也成立.

那么，下滑的初速度是否取任意值結論都成立呢？

如圖6所示，設光滑直軌道1的水平傾角為α，物體沿此軌道下滑的加速度為a=gsinα，且MB=2rsinα，則物體從軌道1的最高點M 靜止下滑到B點時速度大小為：v0=2a·MB=2sinαgr，又BN=2Rsinα ，設物體從B點滑到N點的時間為t′，則有：BN=v0t′+12at′2

，可得：2R=2grt′+12gt′2，可見t′與α角無關.

由以上分析可知，只要物體沿水平傾角為α的軌道下滑的初速度的大小滿足v0 =ksinα （k≥0，是對所有軌道都相同的常數），則等時圓的結論就成立.

23軌道不光滑存在另一等時圓

建立如圖7所示的極坐標系.設小物體與軌道的動摩擦因數為μ，小物體從某點B（r，α）沿傾角α（90°≥α>=arctanμ ）的直軌道下滑到O點的時間為t，則下滑的加速度大小為a=g（sinα – μcosα），由r=12at2得：t=12gt2（sinα-μcosα）=ksin（α-），這是一個圓的方程，這里k=121+μ2gt2，即小物體靜止開始沿與動摩擦因數相同的直軌道下滑到O點時間t相同時，所有直軌道的起始點位于同一個圓周的某一部分上（如圖8圓周的實線部分），該圓與傾角為φ 的斜面相切（物體在此斜面上恰好不能靜止下滑），值得注意的是O不是此圓的最低點.

同理可得，如圖9所示，直軌道不光滑時，從圓上非最高點A沿不同直軌道靜止下滑到軌道另一端的圓上所用時間相同.

可見，直軌道不光滑也可構成另一種“等時圓”.

練習：如圖10所示，有多條直軌道的下端交于O點，所有軌道的兩端點均在同一圓周上，一個小物體分別沿第一條直軌道的上端下滑到O點的時間相同，則

①小物體的初速度不一定為零，但沿所有軌道下滑的初速度大小相等

②小物體的初速度可能不為零，但沿所有軌道下滑的初速度大小不相等

③所有直軌道必須光滑

④所有直軌道不一定光滑，小物體與每條軌道的動摩擦因數必須相同

⑤O點一定是圓的最低點

⑥O點不一定是圓的最低點

關于以上說法中正確的是（ ）

A.①③⑤ B.②④⑤

C.②④⑥ D.①④⑥

答案：C