黏彈性系統隨機響應分析

徐明

摘要：應用等效非線性化方法分析了高斯白噪聲激勵作用下強非線性黏彈性系統隨機響應。首先，通過廣義諧和變換，黏彈性作用力可近似等效為擬線性阻尼和擬線性剛度兩部分，進而原系統簡化為無黏彈性項的非線性隨機系統。其次，選取一類具有待定參數的等效非線性系統類。該等效非線性系統類具有精確穩態解，且和簡化后的非線性隨機系統具有相同的特性。然后，根據簡化系統和等效非線性系統類之差的均方值最小原則，最終確定等效非線性系統類中的待定參數。最后以該系統的精確穩態隨機響應近似表示原系統的隨機響應。本文所提方法得到的解析結果與蒙特卡洛模擬方法得到的結果符合較好，證實了該方法的正確性。

關鍵詞：黏彈性系統；隨機響應；等效非線性化方法；廣義諧和變換；穩態概率密度函數

引言

諸如聚合物、復合材料、生物材料等黏彈性材料廣泛應用于結構和機械工程。與傳統彈性材料相比，黏彈性材料不僅可以儲存彈性勢能，而且類似阻尼可耗散能量。此外，黏彈性材料具有黏彈性特性——應力松弛和蠕變特性。由于黏彈性材料的獨特性質，它們已被應用于機器人，高精度工業加工，航天器器件等重要領域。目前已有大量關于黏彈性材料研究的文獻，發展了不少確定性激勵情形下黏彈性非線性系統的分析方法和控制策略。如Han和wang研究了具有非線性阻尼的黏彈性方程，得到了能量衰減方程。Sergienko和Deineka用二次成本函數研究了具有黏彈性應力——應變本構關系的復合體最優控制問題。另一方面，由于環境中不可避免的隨機干擾，學者對黏彈性材料的研究從確定性系統拓寬到了隨機動力系統。Xie研究了有界噪聲激勵下二維黏彈性系統，得到其里亞普諾夫指數。Potapov應用隨機平均法研究了黏彈性系統的穩定性，其中黏彈性力僅考慮了阻尼效應。Huang和xie分別應用具有一階精度和二階精度的隨機平均法研究了單自由度黏彈性寬帶隨機激勵系統的矩里亞普諾夫指數。Zhu和Cai與Ling等獨立地提出了估計寬帶隨機激勵下黏彈性系統響應的分析方法，后者同時還分析了系統的穩定性。Xiong和Zhu則基于隨機動態規劃原理，提出了非線性黏彈性系統隨機最優控制策略。

目前研究黏彈性系統響應的眾多方法中，隨機平均法受到了極大的關注，然而由于其受限于弱阻尼和弱激勵強度條件，無法推廣于大阻尼和強激勵情形，同時其復雜的推導過程難于被大多數人掌握。相反，等效非線性化方法具有分析大阻尼和強激勵情形的優點，分析過程又簡單易懂，因而具有較大優勢。zhu等已經發展了哈密頓理論框架下的等效非線性化方法，并提出了三類等效準則：阻尼力之差的均方值最小，單位時間內阻尼力能量耗散之差的均方值最小及首次積分時間變化率期望相等。最近，等效非線性化方法已應用于非彈性碰撞振動系統的隨機響應預測，其結果表明該方法對較強激勵強度仍具有較高精度，而求解過程十分直觀簡潔。

本文發展了求解高斯白噪聲激勵作用下強非線性黏彈性系統穩態響應的等效非線性化方法。首先，通過廣義諧和變換，將具有耗散和彈性回復特性的黏彈性力近似表示成關于系統狀態的代數表達式，并將其替代原系統方程的黏彈性項，進而得到一不含黏彈性力的簡化非線性系統。其次，通過等效非線性化方法分析得到簡化系統的穩態響應概率密度函數，進而將其作為原系統的響應解。最后，通過蒙特卡羅數值模擬驗證了該方法的正確性。