分光棱鏡位置變化對自準直測角光管角度測量誤差的影響

王學根，孫 煜，賀永喜

（北京航天發(fā)射技術研究所，北京，100076）

分光棱鏡位置變化對自準直測角光管角度測量誤差的影響

王學根，孫 煜，賀永喜

（北京航天發(fā)射技術研究所，北京，100076）

采用矢量分析的方法從理論上推導出分光棱鏡位置變化對目標返回光線的影響，進而分析出其對自準直測角光管中目標像點位置的影響，并給出位置變化對角度測量誤差的影響關系式，對自準直測角光管等精密儀器中分光棱鏡安裝座設計提出建議。

分光棱鏡；位置變化；矢量法；角度測量；誤差

0 引 言

分光棱鏡是自準直測角光管光路設計中的關鍵部件，其主要作用是通過內反射的方式改變被測目標的反射光線，使其偏離光學系統(tǒng)光軸方向一定角度（一般為 90°），在空間上方便安裝電荷耦合元件（Charge-coupled Device，CCD）等光電器件以實現(xiàn)光電測量，自準直測角光管光路原理如圖1所示[1]。作為一種精密的角度測量設備，自準直測角光管的測角精度比較高，通常試驗室內能達到0.5～0.1″。對于軍用高精度的自準直測角光管，測角精度絕對值的高低不是其唯一考核的指標；其在全溫域（溫度環(huán)境一般為-40～60 ℃）范圍內，測角精度的穩(wěn)定性則更重要。在上述寬溫范圍內，分析自準直測角光管誤差源，分光棱鏡的制造和安裝穩(wěn)定性誤差不可小視。因為經(jīng)分光棱鏡反射的目標光線是測量被測目標方位信息的載體，分光棱鏡本身的制造誤差及其安裝穩(wěn)定性誤差將直接影響測量精度。本文不討論分光棱鏡的制造誤差對測量精度的影響[2]，僅關注其安裝穩(wěn)定性誤差給測量精度帶來的可能影響。根據(jù)光線的反射定律及轉動定理，結合分光棱鏡安裝的誤差源形式，本文采用矢量分析的方法從理論上推導出安裝位置變化對目標返回光線成像位置變化的影響關系，進而分析出其對測量誤差的影響，并對分光棱鏡安裝座的設計提出建議。

圖1 自準直測角光管光路原理

由圖1可知，分光棱鏡的分光面是一個平面鏡，利用平面鏡反射實現(xiàn)測量光束偏轉90°，為安裝CCD器件提供空間并實現(xiàn)光電測量。

1 平面鏡反射定律的矢量法表示

平面鏡反射矢量示意如圖2所示。

圖2 平面鏡反射矢量示意

圖2中，A為入射光線單位矢量，N為反射面法線的單位矢量，A′為A的反射光線單位矢量，由矢量三角形O12得反射矢量公式[3]如下：

設A，N，A′在坐標系XYZ上的分量分別為 AX， AY， AZ，NX， NY， NZ， A′X， AY′， AZ′，代入式（1），得：

將式（2）寫成矩陣形式：

式中R為平面鏡的反射作用矩陣，其中：

2 轉動矢量公式

矢量A繞轉軸單位矢量P轉動一角度θ而成為矢量A′，其轉動矢量表達式[4]為

將式（4）寫成矩陣形式：

Sp,θ代表繞P轉θ角的轉動矩陣：

式中 PX，PY，PZ分別為單位轉軸矢量P在X，Y，Z方向的分量；θ為矢量A繞轉軸P轉動的角度。在特殊情況下，P與坐標系XYZ中的某一個坐標軸重合。此時，轉動矩陣S,iθ，Sjθ,和S,kθ分別為

3 分光棱鏡位置變化對反射光線的影響[5]

分光棱鏡安裝后的任一位置變化可以表示為在空間坐標系3個坐標軸方向的投影分量，即在X，Y，Z坐標軸方向的位移誤差分量XΔ， YΔ， ZΔ 及繞X，Y，Z坐標軸的轉動誤差分量ΔθX，ΔθY，ΔθZ。由于分光棱鏡在X，Y，Z坐標軸方向的位移XΔ，YΔ， ZΔ 僅影響入射光線在分光棱鏡上的反射作用點，而不會影響反射光線的方位，所以其對測量精度的影響可以不考慮。因此分光棱鏡安裝后的位置變化僅考慮其繞X，Y，Z坐標軸的轉動量ΔθX，ΔθY，ΔθZ。

下面分別討論分光棱鏡安裝后其繞X，Y，Z坐標軸的轉動分量ΔθX，ΔθY，ΔθZ對反射光線的影響，見圖3。

圖3 分光棱鏡內反射工作示意

由圖3可知，被目標棱鏡反射回光學系統(tǒng)的光線為A′，其相對于分光棱鏡反射面為入射光線。用圖 3中所示的光學系統(tǒng)坐標系表示，入射光線的單位矢量表示為，當入射光線A與分光棱鏡反射面法線呈 45°角時，分光棱鏡反射面法線的單位矢量為，反射光線單位矢量為，此時的分光棱鏡位置為理想位置。

3.1 分光棱鏡繞X軸轉動XθΔ對反射光線的影響

分光棱鏡繞X軸轉動ΔθX后，其反射面的法線為

式中,iθΔS為轉動作用矩陣，。將其代入式（7）得：

將式（8）代入式（3）得反射面的作用矩陣RθX：

3.2 光棱鏡繞Y軸轉動YθΔ對反射光線的影響

按照3.1節(jié)的步驟，同理可得分光棱鏡繞Y軸轉動ΔθY后的反射光線為

3.3 分光棱鏡繞Z軸轉動ZθΔ對反射光線的影響

3.4 影響分析[6,7]

在圖3中，反射光線在X，Y，Z 3個坐標軸方向的分量變化將最終影響返回光線的成像位置。但由于測量敏感方位是X軸方向，即X軸方向的變化將作為測量誤差直接帶入測量結果。根據(jù)3.1～3.3節(jié)的計算結果可得分光棱鏡分別繞X，Y，Z軸轉動后引起的成像位置變化，結果如表1所示。

表1 分光棱鏡位置變化與相應的成像位置關系

由表1可知：

a）分光棱鏡繞X軸轉動，反射光線在X軸無變化，因此不會引入方位測量誤差；

b）分光棱鏡繞Y軸轉動YθΔ，引入方位測量誤差為，根據(jù)圖4（函數(shù)y=(θ-sin(θ))×180×3600/π的圖像）可知[8]：當ΔθY≤0.015 rad時,λY≈ΔθY（其中，λY單位為rad）；

c）分光棱鏡繞Z軸轉動ΔθZ，引入方位測量誤差為λZ=-sin ΔθZ，根據(jù)圖4（函數(shù)y=（θ-sinθ）×180×3600/π的圖像）可知：當ΔθZ≤0.03 rad時，λZ≈-ΔθZ；

d）分光棱鏡繞Y,Z軸的小角度（繞Y軸不大于0.015 rad，繞Z軸不大于 0.03 rad）轉動，將按 1∶1的比例引入方位誤差，因此要嚴格控制分光棱鏡繞Y、Z軸的轉動位置變化；

e）分光棱鏡繞X，Y軸轉動，成像位置在Z軸方向有變化，針對線陣CCD器件，成像點在沿X軸敏感陣列的垂向有位移，這種變化的帶來的可能影響如下：

1）由于像點形狀不是理想的軸對稱圖形，其成像位置在 CCD敏感陣列垂向的變化可能引入采集像點部位發(fā)生變化，從而帶來測量誤差；

2）當像點位移大時，可能使像點位置脫離 CCD敏感陣列，造成CCD測量功能失效。

f）分光棱鏡繞X，Y，Z軸轉動，成像位置在Y軸都有變化，根據(jù)其值的大小分析，成像位置都遠離了想焦面位置，這種離焦現(xiàn)象會影響目標返回像在CCD敏感面的成像質量；

g）分光棱鏡裝調時其安裝位置與理想位置的小量誤差對自準直測角光管測量的影響可以通過裝調、標定來消除，一般不會影響自準直測角光管的測量精度；

h）自準直測角光管在使用過程中由于溫度、振動、沖擊等工作環(huán)境造成的分光棱鏡位置變化引入的上述誤差無法消除，其大小不可忽視，最終會影響自準直測角光管的環(huán)境適應性能。

圖4 函數(shù)y=（θ-sinθ）×180×3600/π的圖像

4 結 論

自準直測角光管使用過程中，工作環(huán)境的溫度、振動、沖擊等應力因素造成的分光棱鏡繞X，Y，Z軸轉動方向的位置變化會給測量帶來誤差。為減小或消除這一誤差源，根本的方法是自準直測角光管在使用過程中保持分光棱鏡的位置不變。為實現(xiàn)這一目標，分光棱鏡座的設計及分光棱鏡組件的裝配應考慮以下幾點：

a）分光棱鏡座易做成繞Y，X軸對稱結構，使其產(chǎn)生的變形均勻對稱；

b）分光棱鏡座的Y，Z方向剛度要大些，使分光棱鏡繞Y，Z轉動的位置變化盡量小；

c）分光棱鏡座與分光棱鏡作為一個整體裝配在自準直測角光管中，受力應均勻對稱，且在外力作用下分光棱鏡應趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。

[1]李曉彤. 幾何光學和光學設計[M]. 杭州: 浙江大學出版社, 1997.

[2]王之江, 等. 光學技術手冊[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 1994.

[3]匡萃方, 等. 用矢量方法分析角錐棱鏡直角誤差對其反射光路特性的影響[J]. 光學儀器, 2004, 25(4):55-58.

[4]王駿, 等. 一種直角棱鏡棱脊相對變化量測量方法[J]. 科學技術與工程, 2006, 6(18): 2880-2886.

[5]尚鴻雁. 激光自準直測角系統(tǒng)安裝誤差分析[J]. 應用激光, 2008, 28(4): 318-322.

[6]高立民, 等. 直角棱鏡棱鏡傾斜對方位瞄準的影響[J]. 光子學報, 2002, 31(1): 117-119.

[7]歐同庚, 等. CCD光電自準直儀工作原理及誤差源分析[J]. 大地測量與地球動力學, 2007(6): 98-100.

[8]張錚, 等. MATLAB程序設計與實例應用[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 2003.

Influence on Autocollimation Angle Measuring Caused by Motion of Beam Splitting Prism

Wang Xue-gen, Sun Yu, He Yong-xi
(Beijing Institute of Space Launch Technology, Beijing, 100076)

The influence on reflection beam from the target caused by the motion of beam splitting prism is theoretically deduced, with vector analyzing method. The affection on the postion of the target image for autocollimation measuring is analysed further. The relation between the angle measuring error and the motion of the target image is given. Some advices for the design of prism seat are given, which is used in the precision equment as well as the autocollimation.

Beam splitting prism; Motion; Vector method; Angle measuring; Error

TH741

A

1004-7182(2017)01-0022-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20170106

2016-05-24；

2016-10-08

王學根（1976-），男，高級工程師，主要研究方向為光電測量及精密儀器