如何讓學(xué)生會“數(shù)學(xué)地”思考問題

盛璇

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱“《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》”）第一次將數(shù)感作為新課程標(biāo)準(zhǔn)十個核心概念的首要概念，并明確規(guī)定應(yīng)為學(xué)生掌握的核心內(nèi)容，需要培養(yǎng)的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可見培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要性。但在日常的教學(xué)過程中，由于教師對數(shù)感的培養(yǎng)缺乏應(yīng)有的認(rèn)識，往往只是教給學(xué)生有關(guān)對數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的計算和數(shù)的應(yīng)用方面的知識，缺乏對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，亦或由于教師理念上的先天不足而在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過程中存在這樣或那樣的誤區(qū)，致使一些學(xué)生面對現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問題，由于自身數(shù)感不強(qiáng)，常常束手無策。那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，讓學(xué)生會“數(shù)學(xué)地”思考問題？

一、對數(shù)感內(nèi)涵的認(rèn)識

通過閱讀報刊雜志和上網(wǎng)查找資料，國內(nèi)外關(guān)于數(shù)感的種種說法有很多，經(jīng)過大致梳理有以下幾類：第一，認(rèn)為數(shù)感是“關(guān)于數(shù)字（量）的一種直覺”；第二，認(rèn)為數(shù)感與語感、美感等類似，是一種“直感”；第三，認(rèn)為數(shù)感是一種主動地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度和意識，是一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)感作出了明確的解釋：數(shù)感，主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計等方面的感悟。“數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對大小關(guān)系；能用數(shù)來表達(dá)和交流信息；能為解決問題而選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ荒芄烙嬤\(yùn)算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋。”這便于我們明確數(shù)感的具體內(nèi)容，把握數(shù)感的教學(xué)方向，便于在日常教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

上海市特級教師曹培英在給我們做的報告《“十大核心詞”的解讀研究》指出：數(shù)感如同球員的球感。歌手的樂感，每個人都有，只是程度感覺的不同罷了。簡單通俗地說，數(shù)感就是對于數(shù)的感悟和理解。北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授張丹在所著的《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略》中將數(shù)的學(xué)習(xí)歸為四個方面：在對具體情境中數(shù)與數(shù)量、數(shù)量之間關(guān)系等感悟的基礎(chǔ)上理解數(shù)的意義，運(yùn)用多種方法來表示數(shù)，把握數(shù)的相對大小關(guān)系，運(yùn)用數(shù)來表達(dá)和交流信息。由此不難看出，這里的“感”不僅僅停留在感性認(rèn)識上，而是在感性基礎(chǔ)上的理性認(rèn)識。《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》一書中指出：數(shù)感是人們對數(shù)與運(yùn)算的一般理解，有助于人們用靈活的方法做出數(shù)學(xué)判斷，并為解決復(fù)雜問題提出有用的策略。綜合上述的觀點(diǎn)，我認(rèn)為：數(shù)感是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是一個人對數(shù)的意義和運(yùn)算的直覺感知，具有良好數(shù)感的人，對數(shù)的意義和運(yùn)算有靈敏而強(qiáng)烈的感覺、感受和感知的能力，并能作出迅速準(zhǔn)確的反應(yīng)。它不僅體現(xiàn)在計算能力和解決書本問題能力上，而且體現(xiàn)在學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，當(dāng)遇到與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題時，能自然地、有意識地和數(shù)學(xué)相聯(lián)系，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來處理解決，可以理解為數(shù)感就是可以“數(shù)學(xué)地”思考問題。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)誤區(qū)

數(shù)感的建立是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)地思考和解決問題的能力。但在日常教學(xué)中，由于教師受應(yīng)試教育的影響，對數(shù)感的認(rèn)識還存在不同的偏差，以至于在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的過程中還存在一些誤區(qū)。

誤區(qū)之一：感受大數(shù)是與生俱來的，后天無法養(yǎng)成

不可否認(rèn)，某些數(shù)學(xué)家天生就有很強(qiáng)烈的數(shù)感，10歲的高斯毫不費(fèi)勁地完成了等差數(shù)列（比如由1到100的自然數(shù)）求和，得益于他對計算方法的直接把握；12歲的帕斯加獨(dú)立完成了三角形內(nèi)角和定理的證明，一直為人們津津樂道。瑞士著名的伯努利家族在三代人中產(chǎn)生了八位數(shù)學(xué)家，我國南北朝祖氏父子、清朝梅文鼎祖孫的數(shù)學(xué)成就聞名于世，但畢竟是鳳毛麟角，屈指可數(shù)。

數(shù)感的形成固然有遺傳因素和家族影響的作用，而更多是后天努力的結(jié)果。解析幾何創(chuàng)始人笛卡兒出身于法國貴族家庭，父親是政府雇員；牛頓出身在英國農(nóng)民家庭，還是遺腹子，全靠自己努力取得成功；概率論奠基者拉普拉斯的父母是法國農(nóng)民；費(fèi)馬則是法國皮革商的兒子。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽、楊輝、朱世杰、秦九韶，直到近代的程大位、徐光啟、李善蘭，他們家族中沒有一人是數(shù)學(xué)家，他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)全靠后天養(yǎng)成。更何況數(shù)學(xué)新課程的培養(yǎng)目標(biāo)不是數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，“獲得適應(yīng)未來社會生活和繼續(xù)學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基本知識和技能”，會“數(shù)學(xué)地”思考問題。

形成數(shù)感不是一蹴而就的事，需要一定數(shù)量和足夠時間的學(xué)習(xí)，在適宜的重復(fù)性訓(xùn)練后便自然形成數(shù)感。數(shù)感與記憶的程度有關(guān)，如果對數(shù)的記憶程度越深，對數(shù)的感覺和反應(yīng)就越靈敏。中國自古以來就有“熟能生巧”的說法，就是這個道理。實(shí)踐證明，絕大多數(shù)學(xué)生通過努力是可以建立起數(shù)感的。

誤區(qū)之二：數(shù)感不就是會數(shù)數(shù)、會計算嗎

這是一種片面的理解。所謂數(shù)感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識，它是建立在對事物數(shù)量關(guān)系的直觀感知之上的。會數(shù)數(shù)、會計算只是最低層次的數(shù)感，理解數(shù)的意義，知曉現(xiàn)實(shí)事物與數(shù)目可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，可以完成日常生活所必需的計算，這只能算是被動的“數(shù)感”，剛剛摘了“數(shù)盲”的帽子，這是第一層次的數(shù)感。

第二層次的數(shù)感已經(jīng)超越了“結(jié)繩記事”階段，不再滿足于具體數(shù)字計算，而是進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來思考和處理問題，能為解決問題選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ哂胁呗孕灾R。在課堂教學(xué)中集中表現(xiàn)為：對數(shù)學(xué)知識充分領(lǐng)悟，對思維訓(xùn)練快速反應(yīng)，對個性教養(yǎng)的深刻感受。在數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生總是自發(fā)或自覺地運(yùn)用已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)模塊，對數(shù)學(xué)情境能迅速反應(yīng)、準(zhǔn)確把握、思路敏捷、解答簡縮，能自然地運(yùn)用最優(yōu)化的解題策略。在日常生活中，他們勤于數(shù)學(xué)觀察和數(shù)學(xué)思考，善于從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題。

數(shù)學(xué)教育主要是培養(yǎng)這一層次的數(shù)感，使學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度看世界。當(dāng)他們遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時，就能自然地、有意識地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，或者試圖進(jìn)一步用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法來處理解決，會“數(shù)學(xué)地”觀察與思考。我們沒有必要，也不可能讓人人都成為數(shù)學(xué)家，但應(yīng)當(dāng)使每一個人都具有數(shù)感，會“數(shù)學(xué)地”思考問題。數(shù)學(xué)素養(yǎng)作為素養(yǎng)之一，不只是用計算能力的高低和解決書本問題能力的大小來衡量的，而學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思考問題，用數(shù)學(xué)的方法理解和解決實(shí)際問題，能從現(xiàn)實(shí)的情境中看出數(shù)學(xué)問題，這才是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，所以說，數(shù)感是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

第三層次數(shù)感已進(jìn)入到“自由”階段，這是一種數(shù)學(xué)的至高境界，完全脫離現(xiàn)實(shí)世界，進(jìn)入到虛無抽象的數(shù)學(xué)世界，憑借對數(shù)學(xué)美的直覺，孜孜以求。在歐拉最后17年生命中，他已雙目失明，但并不妨礙他對數(shù)學(xué)世界敏銳的洞察力，“歐拉計算毫不費(fèi)力，就像人的呼吸，或如老鷹在空中翱翔一樣自如”，支撐他的就是這種高層次的數(shù)感；陳景潤當(dāng)年身居斗室卻心系“明珠”，為攻克“歌德巴赫猜想”忘我工作，幾近癡迷，應(yīng)是此種境界。王維的千古名句“大漠孤煙直，長河落日圓”在數(shù)學(xué)家眼里卻是平面上的一條垂線，一條直線上外切著一個圓。

誤區(qū)之三：數(shù)感的培養(yǎng)必須通過數(shù)學(xué)情境

通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，這是新課改所提倡的，本身無可厚非。問題是有些教師過于追求教學(xué)的情境化，為了創(chuàng)設(shè)情境可謂是“冥思苦想”，好像數(shù)學(xué)課脫離了情境，就不是新課改數(shù)學(xué)課。為了培養(yǎng)數(shù)感，今天是去商店“買東西”，明天到旅游點(diǎn)“買門票”，后天又是計算“存款利息”，剛開始的新鮮勁一過，學(xué)生們漸漸習(xí)以為常，情境也就失去了新異性，根本不能激起他們的興趣，那么，學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)也就無從談起。教學(xué)中，不要單純地用“生活化”“活動化”沖淡“數(shù)學(xué)味”，不能把數(shù)學(xué)課上成活動課、游戲課。更不能為了貼近生活，常常“挖空心思”編造一些題目來幫助學(xué)生建立數(shù)感。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的有效教學(xué)策略

良好的數(shù)感是學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和生活的基礎(chǔ)，因此教師要切實(shí)認(rèn)識到數(shù)感的重要性，有計劃有意識地將數(shù)感的培養(yǎng)納入自己的日常教學(xué)之中。

1. 遵循學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

20以內(nèi)、百以內(nèi)的數(shù)可以讓學(xué)生數(shù)一數(shù)，如數(shù)小棒、數(shù)小方塊，但是1000的認(rèn)識，你讓孩子數(shù)1000，10000的認(rèn)識以及后面要學(xué)習(xí)的的幾萬、幾十萬、幾百萬，整萬數(shù)的認(rèn)識，這種數(shù)實(shí)物的方法已不適宜了。因此，要根據(jù)數(shù)的大小關(guān)系以及學(xué)生的年齡特征靈活采取不同的方法，可以是實(shí)物數(shù)數(shù)，構(gòu)建數(shù)感，也可以是數(shù)形結(jié)合，發(fā)展數(shù)感。而“數(shù)形結(jié)合、發(fā)展數(shù)感”實(shí)踐的是一種數(shù)量間的相對大小關(guān)系。在這里重點(diǎn)是構(gòu)建一種估計的方法，建立一個估量的標(biāo)準(zhǔn)（參照物）。例如，教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，要符合不同年齡段學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容有所變化，創(chuàng)設(shè)的情境還應(yīng)該賦予一定的時代氣息。情境的表現(xiàn)形式應(yīng)該是多種多樣的，如問題情境、活動情境、故事情境、競爭情境等。對于低年級、中年級的學(xué)生，可以通過講故事、做實(shí)驗、模擬表演、直觀演示等形式創(chuàng)設(shè)情境；而對于高年級學(xué)生，則要側(cè)重創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的問題情境，用數(shù)學(xué)本身的魅力去吸引學(xué)生。

2. 在適度“數(shù)境”中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

在數(shù)學(xué)悟境（以下簡稱“數(shù)境”）中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，就是說要將數(shù)感的培養(yǎng)置于適度的數(shù)境中。語境、語感、數(shù)境、數(shù)感，數(shù)境可以從兩方面來理解，第一個是數(shù)的應(yīng)用環(huán)境，而不是直接的認(rèn)識數(shù)，而是置于一定的生活情境中，第二個語文老師都非常清楚，字詞的認(rèn)識肯定是要放于句子中的，那么我們數(shù)的認(rèn)識，肯定放在一個數(shù)的范圍中，比如教學(xué)《萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》，就先出示1000到10000，讓學(xué)生讀一讀、看一看，談一談有什么感覺，就是在整體感知以后再去認(rèn)識某一個數(shù)，所以這就是我們對數(shù)境的理解，其實(shí)數(shù)感的培養(yǎng)置于數(shù)境中能夠更好地讓學(xué)生對數(shù)有一種感覺。

3. 在數(shù)的認(rèn)識實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

讀數(shù)同樣能夠讓孩子讀出一種數(shù)的感覺，這應(yīng)該是我們在數(shù)的教學(xué)過程中可以去追求的一個方向。

新《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“在第一學(xué)段的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系自己身邊具體、有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數(shù)的意義，體會數(shù)用來表示和交流的作用，初步建立數(shù)感。”數(shù)感不是通過傳授而能得到培養(yǎng)的，更重要的是讓學(xué)生自己去感知、發(fā)現(xiàn)，知道在學(xué)習(xí)生活中處處有數(shù)的存在，很多問題需要用數(shù)學(xué)的思想和方法去解決，從而學(xué)習(xí)用數(shù)來概括、表達(dá)自己對事物的認(rèn)識，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感。能把數(shù)的概念與它們所表示的實(shí)際含義建立起聯(lián)系，是理解數(shù)的標(biāo)志，也是建立數(shù)感的表現(xiàn)。因此在“數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)中，教師要充分利用學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)素材，努力喚醒學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，并向兒童展示數(shù)的概念的現(xiàn)實(shí)來源和實(shí)際應(yīng)用，以幫助學(xué)生把握數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，真正理解數(shù)的意義，建立良好的數(shù)感。例如教學(xué)克、千克的認(rèn)識時，讓學(xué)生尋找并掂量1克與1千克的物體，尋找哪些物體分別用“克”“千克”作單位。像一分硬幣重1克，4粒黃豆大約重1克，兩袋鹽重1千克，一袋糖重1千克，肥皂、藥片、黃金等細(xì)小物品用“克”作單位，體重、菜、水果等用“千克”作單位；在教學(xué)長度單位時，可通過讓學(xué)生到操場上跑跑、測測、量量，讓學(xué)生感受50米、100米、500米的距離……這些數(shù)據(jù)、單位都來自于生活實(shí)際，學(xué)生很容易理解、接受，它不僅可以培養(yǎng)學(xué)生“親近數(shù)學(xué)”的行為，而且可以提高學(xué)生對數(shù)的敏銳程度，形成對數(shù)的良好直覺，建立數(shù)感。

數(shù)感是一種內(nèi)隱的、非結(jié)構(gòu)的程序性知識，他不是與生俱來的，數(shù)感的形成也不是一蹴而就的，而是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗和建立起來的，需要長時間潛移默化的滲透和培養(yǎng)。作為教師，要努力鉆研新教材，結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，尋找各種著眼點(diǎn)，用多種方法加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，在實(shí)際教學(xué)過程中需要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容有意識設(shè)計具體目標(biāo)，提供有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的情境、有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)感的評價方式，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)感的建立和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。

（作者單位：湖南省長沙市開福區(qū)第一小學(xué)）