給定電勢導體球與極板體系的電勢與電場

黃 爽，郭 偉，吳 娟，高 欣

(貴州大學物理學院，貴陽 550025)

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給定電勢導體球與極板體系的電勢與電場

黃 爽，郭 偉，吳 娟，高 欣

(貴州大學物理學院，貴陽 550025)

用多重鏡像法研究了在外加電場中給定電勢的導體球和極板體系的電場分布、電勢問題。給出了計算鏡像電荷和偶極矩的理論推導和計算方法，通過得到的鏡像分布，計算并討論了空間電場分布，得到了球上電勢與一階鏡像電量的關系，指出對于該體系，不能通過球的電勢直接確定電量，而是應先用鏡像法確定電勢和電量的關系，再根據給定的電勢確定電量，而后再應用鏡像法計算和分析電荷、電場和電勢分布。

導體球；鏡像法；電勢；電偶極矩；電場

球體在電場中的極化或靜電感應，是很多研究領域的基本問題。導體球在外電場中發生靜電感應，會導致電荷分布和空間電場發生改變，尤其是當導體球本身帶電的時候，情況會變得更為復雜。球體在均勻電場中，電場分布有嚴格的解析解[1-2]。但當導體球接近極板時，極板上的電荷分布會受到導體球上電荷的影響。計算了導體球接近極板時的情況，對于給定電勢的導體球，導體球上會帶有電荷，應用球上所帶的電荷量來確定球上的電勢。實際上，當導體球接近極板的時候，球與極板之間的電場不再是簡單的均勻電場和球的感應電場的疊加，因為極板上的電荷分布也發生了變化。此外，球與極板之間的電場，還取決于極板的電勢。

從電動力學理論發展起來的鏡像法被廣泛采用來處理有對稱性的導體球體系[3-5]，最早由Thomoson提出[6]。因為其物理圖像清晰、計算精度高、計算速度快等優點，被普遍采用。很多研究者采用鏡像法處理在外電場中兩個接近的導體球的靜電感應、電荷、電場分布及相互作用等問題[7-13]。對于給定電勢導體球的研究工作較少。Bosch等人[14]指出，當球的電勢給定為UB時，其帶的電量可以用

(1)

來確定，再根據這個確定好的電量，用鏡像法去求解電場分布。高欣等人[15]發展了多重鏡像法，可以計算等電勢導體球體系的電場分布，但并未涉及給定電勢。

本文中，我們將基于多重鏡象法，分析給定電勢導體球靠近極板時，極板和球上的電荷分布，以及球和極板間的電場分布，澄清給定電勢的導體球上電量對電勢的依賴關系。

1 理論計算

考慮如圖1所示的體系，極板A和C之間為均勻電場，電場強度由兩個極板的電勢確定。半徑為R的導體球置于靠近極板A的位置，球面距極板距離為L，電勢由外接電源給定。在這種情況下，無論極板電勢還是電場強度改變，球上電勢始終恒定。假設球上電量為q1，當不考慮外加電場時，由電勢的唯一性原理可知，電荷均勻分布在球面，球外電場可看成球心位置處電量為q1的點電荷產生的電場。當導體球不帶電時，在外加均勻電場中導體球發生靜電感應，球外電場可以等效為位于球心的電偶極矩PB,1=4πε0R3E0，所產生的電場與均勻電場的疊加。

圖1 均勻電場給定電勢的導體球Fig.1 Conducting sphere in the given potential of uniform electric field

當球離極板較遠時，球對極板上電荷分布的影響可以忽略。當球靠近極板時，球上的電荷又會影響極板上的電荷分布。這里只考慮較簡單的情況，球靠近極板A，離極板C非常遠，因此球上電荷分布對極板C的影響不需考慮，而僅考慮球對極板A的影響，如圖2所示。假設均勻電場E0=105V/m，方向沿水平方向向右，極板A的電勢為UA，導體球的半徑R=3.15×10-3m，球面到極板A的最近距離L=2.5×10-2m，導體球的電勢由接地電動勢提供，恒定為UB。

根據無限大導體平面的鏡象法理論[16]，點電荷q1在極板中的鏡像電荷為到極板等距的異號電荷，相應的電偶極矩鏡像為極板左側相同距離處方向、大小都相同的電偶極矩。極板中鏡像電荷又會在球內產生第二階鏡像[15]：

(2)

(3)

(4)

其中，d=L+R，是球心到極板的距離，rA,2是鏡像電荷和偶極矩到球心的距離。電偶極矩在導體球內的鏡像包括處于同一位置的一個電偶極矩和一個鏡像電荷，式(3)中第二項為電偶極矩在球內產生的鏡像電荷。同樣，球內的二階鏡像電荷和偶極矩又會在極板產生二階鏡像，依次類推，可以得到各階鏡像電荷和偶極矩的通式。球內的第i階鏡像為：

(5)

(6)

(7)

其中，rB,i表示第i階鏡像到球心的距離。極板內的第階鏡像：

PA,i=PB,i

(8)

qA,i=-qB,i

(9)

rA,i=rB,i

(10)

其中，rA,i表示極板內第i階鏡像距離極板內第一階鏡像的距離。

圖2 鏡像電荷分布Fig.2 Image charge distribution

(11)

(12)

可求出導體球B上的電勢。

2 計算結果及討論

給定導體球上最初帶有的不同電量，根據式(11)計算得到的極板與球之間軸線上的電場分布如圖3所示。從圖3 中可以看出，不管球上是否帶電，以及帶有何種電荷，靠近導體球位置電場強度都會增強。當球上帶有負電荷時，電量越大，靠近球邊緣電場強度越高。當電量足夠大的時候，極板與球之間的電場都會有明顯的增加。當電量減小為零，靠近球的位置電場方向依然為正，且有顯著增強。電荷為正時，如果電量較小，球邊緣電場強度并沒有改變方向，而且依然有明顯的增強。當正電荷的電量較大時，靠近球的電場強度會有電場方向的改變，也就是說，極板與球之間，電場強度先是接近沒有球存在時的均勻正向電場的強度，離球越近，電場緩慢下降，直到為零，之后越靠近球，電場強度又迅速增加，且為反向電場。

圖3 導體球帶不同電荷量時，極板與導體球間的電場分布Fig.3 The distribution of electric field between the plate and the conducting sphere when the charge volume of the conducting sphere is different

球上初始電量不同時，可以根據式(12)計算極板與導體球間相應的電勢差，如圖4所示。從圖中可以看出，電勢差與電量滿足線性關系。對計算結果進行擬合，得到導體球電勢跟電量的函數關系：

UB=2.534×1012×q1-2 814.4+UA

(13)

而如果用文獻[14]中給出的公式(1)代入本例中相應的參數，則為：

UB=2.855×1012×q1-2 815+UA

(14)

對比發現，其對應的比例系數有本質的差別。可見，直接按照文獻[14]中給出的方法，通過導體球上的電勢來確定導體球的一階鏡像電荷，會導致錯誤的結果。相反，用鏡像法處理這種給定電勢體系，只能先根據體系參數，通過球上不同的一階鏡像電荷值，來計算球上的電勢，再根據擬合公式，就可以確定導體球上給定電勢其所相應的一階電荷量。

圖4 極板與導體球之間的電勢差隨導體球帶電量的變化關系Fig.4 The relationship of the potential difference between the plate and the conducting sphere with the charge amount of conducting sphere

3 結論

本文介紹了多重鏡像法在極板與給定電勢導體球體系中的應用，詳細推導了多重鏡像法的遞推迭代公式。用得到的鏡像分布求電場分布及導體球的電勢，得到了導體球電勢與球上一階電量的函數關系。通過對比分析發現，直接用給定電勢無法確定導體球上的一階鏡像，必須先根據給定體系的參數，通過鏡像法給出電勢與一階鏡像的函數關系，來確定一階鏡像的電量，再通過鏡像法計算電荷分布、電場分布。

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The potentials and electric field distribution of the system including an electrode and a conducting sphere with fixed potential

HUANG Shuang, GUO Wei, WU Juan, GAO Xin

(College of Physics, Guizhou University, Guiyang 550025, China)

The multiple image charge method has been used to study the potential and electric field distribution of the system including an electrode and a conducting sphere with fixed potential. The theoretical derivation and calculation of the image charges and dipole moments for this system has been provided. After the image distribution was determined, the electric field can be calculated using all image charges and dipole moments. The relation between the potential of the sphere and the first order image charge has been given. We point that the first order image charge on the conducting sphere must be determined by the relation equation that was calculated by image method considering the parameters used in the system.

Conducting sphere; Image charge method; Potential; Electric dipole moment; Electric field

2016-10-25

國家自然科學基金(11304049)；貴州大學博士基金(貴大人基合字(2012)020號)

黃爽(1992-)，女，碩士研究生在讀。

高欣，e-mail：gaoxin0526@163.com。

O441

A

1674-8646(2017)02-0044-03