復數幾何意義在初等數學中的應用

趙 秀

(興義民族師范學院數學科學學院，貴州 興義 562400)

?

復數幾何意義在初等數學中的應用

趙 秀

(興義民族師范學院數學科學學院，貴州 興義 562400)

復數集是實數集的延拓，復數理論已經滲透到現實世界的各個領域，為科學研究奠定了堅實基礎。要想學好復數理論，并能靈活應用于實踐，必須深入理解復數的相關幾何意義。分析復數幾何意義及其在初等數學中的應用，供同行參考。

復數；幾何意義；初等數學；應用

1 復數的發展

復數在產生的最初階段，是為了解方程的需要，也就是為使判別式小于零的實系數一元二次方程有解，從而需要再一次擴大數系，將實數集擴大為復數集，于是產生了虛數。但最初，由于人們對復數的有關概念及性質了解不夠清楚，用它們進行計算又出現了許多矛盾，因而，長期以來，人們把復數看作不能接受的“虛數”，直到17、18世紀，隨著微積分的發明與發展，對復數有了幾何解釋，把復數與向量對應起來，解決了許多實際問題，情況才逐漸有了改變，從而使這門學科得到迅速發展。由此看到在復數的發展過程中，復數與幾何有著密切聯系，它們相互支撐，互相促進，共同發展。20世紀以來，復變函數論已被廣泛的應用到理論物理、彈性理論與天體力學方面，在種種抽象空間理論中，復變函數論還常常為之提供新思想、新模型。

2 復數的幾何意義

2.1 復數模的幾何意義

從幾何層面上來看，|z|表示復數z對應的點到原點的距離，而|z1-z2|表示點z1到點z2的距離。這就將幾何中兩點間線段的長度轉化為這兩點所對應的復數之差的模的問題，這是溝通復數與幾何的一個橋梁。

2.2 復數乘法幾何意義

z1z2所對應的向量是把z1所對應的向量伸縮|z2|倍，然后再旋轉一個角度θ2=argz2(若θ2=argz2≥0，按逆時針方向旋轉，若θ2=argz2<0，按順時針方向旋轉)所得到，如果z2是單位復數，幾何上相當于將z1對應的向量旋轉一個角度θ2=argz2即可。

由于θ1∈[0.π]，所以

圖1 例題Fig.1 Example

3 復數在初等數學中的應用

問題1：證明三角形的內角和等于π。

證明：設三角形的三個頂點分別為z1，z2，z3，對應的三個角分別為θ1，θ2，θ3(如圖2)，于是

圖2 例題Fig.2 Example

又由于0<θ1<π，0<θ2<π，0<θ3<π，

所以0<θ1+θ2+θ3<3π，故必有k=0，從而有θ1+θ2+θ3=π。

問題2：設z1,z2,z3三點適合條件： z1+z2+z3=0,|z1|=|z2|=|z3|=1，

試證：z1,z2,z3是內接于單位圓|z|=1的正三角形的三個頂點。

證法一：由于|z1|=|z2|=|z3|=1，可知z1,z2,z3三點在單位圓|z|=1上，下證|z2-z1|=|z3-z2|=|z1-z3|.

因為z1+z2+z3=0，

由于對稱性，同理可證|z3-z2|2=|z1-z3|2=3，

故問題得證。

問題3：證明：方程z4+16=0的根(在復數集內)均勻分布在以原點為圓心，2為半徑的同心圓周上。

證明：由復數的開方公式可得，方程z4+16=0的根為

一方面，由復數模的幾何意義知，z1,z2,z3,z4的模都為2，即方程的四個根到原點的距離都為2。

綜上所述，可知方程z4+16=0的根(在復數集內)均勻分布在以原點為圓心，2為半徑的同心圓周上。

[1] 張錦豪，邱維元. 復變函數論[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2] 鐘玉泉. 復變函數論[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

Application of complex geometric meaning inelementary mathematics

ZHAO Xiu

(School of Mathematical Sciences, Xingyi Normal University for Nationalities, Xingyi 562400, China)

The complex set is the extension of the real number set, and the complex number theory has already penetrated into every field of the real world, which lays a solid foundation for scientific research. In order to learn the complex theory and be able to apply it flexibly, it is necessary to understand the relative geometric meaning of the complex number. In this paper, we discuss the geometric meaning of complex number and its application in elementary mathematics.

Complex number; Geometric meaning; Elementary mathematics; Application

2016-12-09

趙秀(1967-)，女，學士，副教授。

G633.6

A

1674-8646(2017)02-0042-02