轉化與化歸在高中數學中的應用

謝勇華

數學中的轉化與化歸思想方法，指在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉化，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種手段和方法.轉化與化歸的思想方法的特點是實現問題的規范化，模式化，以便應用已知的理論，方法和技巧達到問題的解決.在化歸思維過程中，我們對原來問題中的條件進行了簡化，分化，轉化，特殊化的變形，最后將原問題歸結為簡單的，熟悉的問題而得到解決.下面結合實例介紹轉化與化歸思想的應用與常用的轉化方法.

一、高維與低維的轉化與化歸

在數學解題中，對立體幾何問題（三維）常常需要化歸到熟知的平面幾何問題（二維），化歸的手段主要有平移、旋轉、展開、射影和截面等；對于高次方程或不等式常常需要化歸到熟知的一次方程或不等式的求解，化歸的手段是降次.

例1. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.

解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD？奐平面ABCD，∴PA⊥BD.

又∵PC⊥平面BDE，BD？奐平面BDE，∴PC⊥BD，

而PA？奐平面PAC，PC？奐平面PAC，且PA∩PC=P，

∴BD⊥平面PAC.

（2）∵BD⊥平面PAC，AC？奐平面PAC，

∴BD⊥AC，于是矩形ABCD是正方形，

AB=AD=2，AC=BD=2■=2OC=2OB.

由PC⊥平面BDE，BE，OE？奐平面BDE，

∴BE⊥PC，OE⊥PC.

于是∠BEO是二面角B-PC-A的平面角，

又BO⊥平面PAC，OE？奐平面PAC？圯BO⊥OE，

從而tan∠BEO=■.

易知PA⊥AC，在Rt？駐PAC中有：PC=■=3，

在Rt？駐OEC中，OE=OC·sin∠ACP=OC·■=■×■=■，

于是tan∠BEO=■=■=3，從而二面角B-PC-A的平面角的正切值為3.

點評：在立體幾何中常將面面垂直轉化為線面垂直、線面垂直轉化為線線垂直，將空間中的二面角、斜線與平面所成角轉化為平面上的角來求解.

變式1.“神舟六號”飛船上使用一種非常精密的滾球軸承，如圖所示，該滾球軸承的內外圓的半徑分別為1mm、3mm，則這個軸承里最多可放滾珠 個.

解析：如圖，設兩滾球P，Q相切于點，軸承中心為O，連接OT，設滾球半徑為d，內、外圓半徑分別為r、R，則R=3，d=r=1.

在Rt？駐OTP中，∠POT=■，OP=2，PT=1，

則有sin■=■=■，得？琢=2×■=■，即在圓心角為■的軌道內， 可放一個滾珠，故圓心角為周角（2π弧度）時可放的滾珠為■=■=6個.

點評：本題考查了球體知識的相切問題，通過作軸截面將空間立體圖形問題轉化為平面圖形問題，利用平面幾何的知識得以順利解決.

二、數與形的相互轉化與化歸

在數學解題中，一方面，許多數量關系的抽象概念若能賦予幾何意義，往往變得直觀形象，有利于解題途徑的探求；另一方面，一些涉及圖形的問題如能化為數量關系的研究，又可以獲得簡捷而一般的解法.這就是數形結合的相互轉化.數與形轉換常有三條途徑：（1）建系：通過坐標系的建立，引入數量化靜為動，以動求解；（2）轉化：通過分析數與式的結構特點，把問題轉化到形的角度來考慮，如將■轉化為勾股定理或平面上兩點間的距離等；（3）構造：通過對數（式）與形特點的分析，聯想相關知識構造圖形或函數等，比如構造一個幾何圖形，構造一個函數，構造一個圖表等.

例2. 設函數f（x）=-a+■，g（x）=ax+a，若恒有f（x）≤g（x）成立，試求實數a的取值范圍.

解析：由題意得f（x）≤g（x）？圳■≤ax+2a，令 y1=■……①

y2=ax+2a ……②

①可化為（x-2）2+y21=4（0≤x≤4，y1≥0），它表示以（2，0）為圓心，2 為半徑的上半圓；②表示經過定點（2，0），以a為斜率的直線，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需①所表示的半圓在②所表示的直線下方就可以了（如圖所示）. 當直線與半圓相切時就有■=2，即a=±■，由圖可知，要使f（x）≤g（x）恒成立，實數a的取值范圍是a≥■.

點評：本題通過對已知不等式變形處理后，挖掘不等式兩邊式子的幾何意義，通過構造函數，運用數形結合的思想來求參數的取值范圍，不僅能使問題變得直觀，同時也起到了化繁為簡的效果.

變式2.（衡水中學2017屆高三上學期一調理科）若實數a，b，c，d滿足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，則（a-c）2+（b-d）2的最小值為（ ）

A. ■ B. 2 C. 2■ D. 8

解析：因為（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，所以b=3lna-a2，且d=c+2，設b=y，a=x，則有y=3lnx-x2，由d=c+2，設d=y，c=x，則有y=x+2，所以（a-c）2+（b-d）2表示曲線y=3lnx-x2與直線y=x+2上兩點間距離的平方值. 求（a-c）2+（b-d）2的最小值即曲線上一點到直線距離最小值的平方.

對y=3lnx-x2求導，得y′=■-2x，與直線y=x+2平行的切線斜率k=■-2x=1，解得x=1或x=-■（舍去），故切點坐標為（1，-1），則切點到直線y=x+2的距離為L=■=2■，所以L2=8，即（a-c）2+（b-d）2最小值為8. 故選D.