有界不確定結構基于最小二乘支持向量機回歸的動力特性分析方法

莫延彧, 郭書祥, 唐 承

(1. 空軍工程大學 航空航天工程學院, 西安 710038; 2. 空軍工程大學 理學院, 西安 710051)

有界不確定結構基于最小二乘支持向量機回歸的動力特性分析方法

莫延彧1, 郭書祥2, 唐 承2

(1. 空軍工程大學 航空航天工程學院, 西安 710038; 2. 空軍工程大學 理學院, 西安 710051)

針對不確定結構的動力特性分析問題展開研究，考慮僅已知結構參數變量變化范圍的情況，建立不確定參數變量的區間模型。對不確定變量在其取值范圍內進行改進的均勻試驗設計抽樣，并基于確定結構動力特性分析的有限元法和模態疊加理論，提出改進均勻試驗設計抽樣模擬方法；考慮到該算法計算效率較低，對其進行改進并提出基于最小二乘支持向量機回歸的模擬方法，算法在不改變樣本點數量的前提下，引入了支持向量機回歸代理模型，用訓練后的代理模型對不確定結構的動力特性進行了模擬分析。算法通過兩個數值算例驗證了其有效性。

均勻設計; 區間模型; 頻率分析; 頻響分析; 支持向量機回歸

考慮到工程實際中制造工藝水平，材料特性多樣性以及模型簡化等因素，不確定性是普遍存在的，具體到結構中，主要體現在材料參數、幾何參數和外載荷等參數變量的不確定性。因此，在解決結構的分析和設計問題時，特別是當對產品設計和模型細節的數學描述不夠明確時，將其視作不確定結構更符合工程實際。傳統的處理不確定問題的方法主要是對不確定參數進行隨機化或模糊化，為使隨機分布或隸屬函數較為準確可靠，這兩種方法需要較多的數據支持[1]。因此對于僅已知參數取值范圍的有界不確定變量，隨機化和模糊化并不適用，而基于區間模型的非隨機方法則可以較好的解決有界不確定問題。

結構動力特性分析問題在工程實際中具有很廣泛的應用，它是結構分析設計的重要部分。傳統的結構動力特性分析主要針對確定性結構，其中參數變量都是確定的，這種分析問題可以用有限元方法較好的解決。而當考慮結構的有界不確定性時，其中部分參數是有界不確定變量，此時，用傳統的有限元方法解決結構動力特性分析問題會變得非常困難。近期，有學者對此問題展開研究，王登剛[2]把具有有界不確定參數結構的固有頻率所在區間范圍問題轉化為兩個全局優化問題，并用實數編碼遺傳算法求解；張建國等[3]提出了一種求解有界不確定結構固有頻率的區間逐步離散的方法；馬梁等[4]利用Epsilon算法求有界不確定結構參數有大變化時的固有頻率,得到頻率的上﹑下界； MANSON[5]用復雜仿射分析方法計算有界不確定結構的頻響函數，解決了普通區間運算擴張的問題； GERSEM等[6]用區間和模糊有限元方法求解有界不確定結構的固有頻率和頻響函數； MUNCK等[7]針對求解有界不確定結構頻響函數的區間和模糊有限元方法存在的不嚴密性，提出一種基于響應面的優化技術；YANG 等[8]提出一種求解有界不確定結構動態響應的Laplace變換方法；MA 等[9]結合區間數學與模態綜合法，求解了有界不確定轉子結構的頻響函數變化范圍；SOFI等[10]針對線性無阻尼有界不確定結構，提出一種解決振動分析中廣義區間特征值問題的有效方法。本文針對有界不確定結構頻率和頻響范圍的分析計算展開研究，首先給出了一種基于改進均勻試驗設計的模擬方法，后對其進行進一步改進，給出了基于最小二乘支持向量機(Least Squares Support Vector Machine, LS-SVM)回歸的模擬算法，并對算法進行了驗證。

1 確定結構基于有限元的動力特性分析

有限元法(Finite Element Method，FEM)是一種解決結構靜態和動力特性分析問題的有效手段。通過FEM，復雜結構可以被劃分成有限個較為簡單的單元，從而可以通過對有限單元的整合去研究一個復雜結構的動力特性。

考察自由度為n的無阻尼結構，其動力學平衡方程可表示為

(1)

式中：K(∈Rn×n)為整體剛度矩陣；M(∈Rn×n)為整體質量矩陣；u(ts)為n維位移向量；F(ts)為n維力向量。K和M由FEM整合計算得到。

1.1 頻率分析

考慮上述無阻尼結構自由振動的情況，由于式(1)中整體剛度和質量矩陣K和M已經通過FEM計算得到，因此第t階自然頻率ωt和與之相對應的第t階標準振動模態Ut可以通過解決如下的特征值問題得到

(K-ω2M)u(ts)=0

(2)

式中：ω為頻率；u(ts)為位移向量。

式(2)中的代數特征值問題可以用現有的商業軟件(比如Matlab)計算解決，對其詳細計算過程這里不做過多的介紹。

1.2 頻響函數計算

通過求解式(2)中的代數特征值問題可得到t階標準振動模態Ut，對其進行歸一化得到歸一化標準振動模態Ut norm，滿足如下條件

(3)

和

(4)

對確定結構，K和M是確定的，因此歸一化標準振動模態Ut norm是唯一的。根據模態疊加理論，考慮前m個模態疊加，則自由度j和k間頻率響應函數(Frequency Response Function，FRF)可表示為

(5)

式中：FRFtjk為第t階模態對自由度j和k間頻率響應函數FRFjk的貢獻；Ut norm,j和Ut norm,k分別為第t階歸一化標準振動模態Ut的第j和k分量。 式(5)中FRFjk可以進一步表示為

(6)

其中，Pt為Ut norm,j和Ut norm,k的乘積

Pt=Ut norm,j·Ut norm,k

(7)

考慮到確定性結構歸一化標準振動模態Ut norm的唯一性，Pt為確定值。

2 基于均勻設計抽樣的模擬方法

圖1 二維有界不確定結構的參數變化區域及其區間模型Fig.1 The variables domain and interval model of a two dimensional uncertain structure

區間模型中，作為區間變量XI的函數，整體剛度和質量矩陣也都是區間矩陣，分別表示為KI和MI。則根據式(2)和式(5)，各階自然頻率以及各自由度之間的頻率響應也都在特定的區間范圍內變化。接下來的部分主要介紹一種計算有界不確定結構各階自然頻率以及各自由度之間頻率響應的模擬方法。

2.1 改進均勻試驗設計抽樣

均勻設計(Uniform Design, UD)由FANG等[11-12]提出。它是一種試圖讓設計點均勻分散在試驗區域中的空間填充設計方法[13]。UD特別適用于那些模型未知的情況，它既能用在工程試驗中，也可以用在數值模擬試驗中。UD的試驗次數等于其水平數，因此較為省時省力，特別是當不確定變量數較多且變量相關的情況下尤為突出。

UD主要被用來模擬區間模型的輸入參數變量。文中使用的均勻設計表由好格子點法生成，通過計算均勻設計表中各組試驗點的中心化L2偏差，選取偏差最小的一組試驗點模擬不確定參數變量，最小的中心化L2偏差表明該組試驗點具有最佳的均勻性。圖2(a)和圖2(b)分別為2因素、100水平的拉丁超立方抽樣點和均勻試驗設計抽樣點分布示意圖，從圖2可知，試驗設計抽樣點的分布明顯比拉丁超立方抽樣點更加均勻。

圖2 2因素、100水平數試驗設計樣本示意圖Fig.2 Sampling illustrations for experimental designs with 2 factors and 100 levels

UD使樣本點更加均勻的填充變量空間，因而可以極大的增加抽樣效率。但文中針對有界不確定結構，其變量取值邊界處的信息往往會對結構分析的結果產生很大的影響，為此，文章在UD的基礎上加以改進，在不增加計算成本的情況下使原本均勻分布的樣本點向邊界移動，使得更多的樣本點分布到變量的取值邊界處。改進的原理為

(8)

式中：x為對應樣本點的某個變量原始值；ximp為該變量的改進值；xu為該變量取值區間的均值；xr為該變量取值區間的離差。圖2(b)中2因素、100水平的UD經改進后樣本點分布如圖3所示。從圖3可知，靠近邊界的樣本點尤其是靠近邊界交角處的樣本點明顯增多。

圖3 2因素、100水平數改進UD樣本示意圖Fig.3 Sampling illustrations for improved UD with 2 factors and 100 levels

2.2 頻率區間的計算與FRF包絡線模擬

頻率分析的目的就是確定各階自然頻率的變化區間，而頻響分析的目的是確定頻率響應曲線變化區域，也即確定FRF包絡線。到目前為止，有很多確定頻率區間以及FRF包絡線的方法被學者提出，其中主要有頂點算法，全局優化算法以及一些基于區間運算的轉換算法，等等。上述方法或多或少具有一定的局限性：頂點算法要求自然頻率的變化對輸入參數變量具有單調性，這樣才能保證頻率的極值在變量取值區域的某個頂點處取得，在單調性未知的情況下，該算法需要進行2p次的有限元分析，P代表不確定參數的個數。當不確定參數較多時，該方法的計算量會變得很大；全局優化算法的效率取決于初始點的選取和優化程序的選擇，該算法容易出現早熟現象而無法得到較為精確的結果，特別是當模型非線性程度較高時，且優化算法收斂迭代的次數直接決定了需要進行有限元分析的次數；由于轉化算法以區間運算作為運算基礎，考慮到區間運算在變量相關時易出現區間擴張現象，其結果往往偏保守。

考慮到上述方法種種局限性，嘗試采用改進的均勻試驗設計抽樣模擬算法(Improved Uniform Design Sampling Simulation Algorithm，UDS)計算自然頻率的變化區間并模擬FRF包絡線。圖4以流程圖形式展示了頻率區間和FRF包絡線的UDS算法，算法主要分為以下四步：

步驟2 生成區間模型的樣本點。用n因素、q水平的改進均勻試驗設計抽樣，生成樣本點，最后選擇均勻性最好的一組樣本點模擬不確定參數。UD的因素數等于不確定參數的個數，水平數則根據精確度和計算量的折中進行選取。

步驟3 進行確定性的頻率和FRF計算。由上一步，生成的q個點分別對應q組確定的參數變量。在這一步當中，依次將q組確定的參數變量帶入結構中，計算每組參數對應的各階自然頻率，并計算每組參數對應的FRF值，總共得到q組各階自然頻率和FRF曲線。

步驟4 計算各階自然頻率變化的上下界，并模擬FRF包絡線。分別計算q組各階自然頻率中的最大值和最小值，從而得到各階自然頻率變化的上下邊界；得到的各FRF曲線共同組成區域的邊界線即為不確定結構FRF包絡線。

圖4 區間模型動力特性分析的UDS方法Fig.4 The flowchart of UDS method for interval dynamic analysis

UDS方法在計算頻率區間以及FRF變化區域時有一些優點。該方法由于沒有進行區間運算，從而避免了區間擴張的產生；方法可以用在變量較多的模型當中；且既能適用在參數變量變化范圍較小的結構中，也能適用在參數變量變化范圍較大的結構中。UDS方法由于需要的抽樣點數較少，相比較蒙特卡洛模擬方法有較高的計算速率，但較高的計算精度仍然需要生成較多樣本點，從而使計算量較大，因此方法還需要在計算精度和計算速率之間作出折中。接下來的內容將著眼于進一步提高UDS方法的計算效率上。

3 基于LS-SVM回歸代理模型的模擬方法

前文中提出的UDS方法，其計算量主要集中在對結構的有限元分析上。因而有兩種辦法可以提高計算效率：①減少計算時間，前文中使用均勻試驗設計抽樣選取樣本點的方法已大大減少了樣本點的數量，從而減少了有界不確定結構有限元分析的次數，使計算時間得到了有效的控制；②提高計算精度，UDS算法的精度和計算時間成正比，因此其計算效率不高，文章在接下來的部分試圖用少量樣本訓練得到LS-SVM回歸代理模型，進而對代理模型進行隨機抽樣，從而對結構進行模擬的方法提高計算效率。

3.1 LS-SVM回歸代理模型

(9)

滿足約束條件

yi=ωT·φ(xi)+b+ei,i=1,2,…,N

(10)

式中：ωT·φ(xi)+b為支持向量機模型表達式；ω為權重向量；φ(x)為映射函數；b為偏置量；ei為誤差。式(9)中的γ為正規化參數，它代表訓練誤差最小化和回歸估計函數光滑度之間的權衡。則上述回歸優化對偶問題的拉格朗日多項式可表示為

(11)

式中，α為拉格朗日乘子，式(11)的最優化條件滿足

(12)

消去式(12)中的ω和ei，最終式(12)轉換為

(13)

式中：y={y1,y2,…,yN}T; 1N={1,1,…,1}T;α={α1,α2,…,αN}T;Φ=[Φij]為核矩陣，Φij滿足如下表達式

Φij=φ(xi)Tφ(xj)=K(xi,xj),

i,j=1,2,…,N

(14)

式中，K:Rdx×Rdx→R為滿足Mercer條件[14]的核函數。文中使用徑向基核函數K(xi,xj)=exp(-‖xi-xj‖2/σ2)。最終，LS-SVM回歸代理模型可表達為如下形式

(15)

3.2 LS-SVM回歸的參數選取

選用徑向基函數(Radial Basis Function, RBF)作為LS-SVM回歸的核函數，其重要參數主要是正規化參數γ和RBF核函數參數σ2，這兩個參數的選取會直接影響到LS-SVM回歸代理模型的精度。文中參數的選取是通過耦合模擬退火(Coupled Simulated Annealing, CSA)[15]優化算法實現的，算法優化的目標是使LS-SVM回歸樣本訓練的10層交叉驗證[16]得到的均方誤差(Mean Square Error, MSE)取得最小值。CSA優化算法對初始參數的靈敏度較低，因此具有較好的優化效率，因而能提高總體模擬算法的效率。

3.3 基于LS-SVM回歸的模擬方法

考慮變量取值邊界對分析結果的影響，使用“2.1”中的改進均勻試驗設計抽樣方法為LS-SVM回歸模型選取訓練樣本點。得到的樣本點分散在整個變量取值區域，并且在區域邊界處樣本點較多。

通過樣本點訓練得到LS-SVM回歸代理模型之后，就可以用代理模型代替原結構模型對有界不確定結構進行結構動力特性分析，從而提出基于LS-SVM回歸的模擬方法(Least Squares Support Vector Machine Regression Based Simulation Algorithm，LSSVRS)。圖5以流程形式展示了LSSVRS方法，主要由以下六個步驟組成：

步驟2 生成訓練樣本點。用改進的均勻試驗設計生成樣本點，最后選擇均勻性最好的一組樣本點作為LS-SVM回歸的訓練樣本。

步驟3 計算樣本點對應的頻率和振動模態。對每個樣本點進行確定性的有限元分析，計算每個樣本點對應的結構各階自然頻率，并計算各階頻率對應的歸一化標準振動模態。

步驟4 訓練樣本點，得到LS-SVM回歸代理模型。別選定各階自然頻率和歸一化標準振動模態為目標函數，將樣本點進行LS-SVM回歸訓練，通過優化得到正規化參數γ和RBF核函數參數σ2之后，最終得到回歸代理模型。

步驟5 開展確定性的頻率計算。首先按照蒙特卡洛模擬法需要的樣本數量進行隨機抽樣；然后依次將每個樣本點對應的參數變量帶入結構中，計算樣本點對應的各階自然頻率以及FRF曲線。

步驟6 計算各階自然頻率變化的上下界并模擬FRF包絡線。分別計算各階自然頻率中的最大值和最小值，從而得到各階自然頻率變化的上下邊界，并通過模擬FRF曲線，得到不確定結構某兩自由度之間FRF變化的范圍，即得到FRF包絡線。

圖5 區間模型動力特性分析的LSSVRS方法Fig.5 The flowchart of LSSVRS method for interval dynamic analysis

使用代理模型大大減少了耗時的有限元分析過程的次數，并且在模擬FRF包絡線時，代理模型以振動模態為目標函數，因而避開了耗時的頻率響應分析過程，從而大大縮短了LSSVRS算法的計算時間。考慮到用代理模型進行結構分析的耗時非常短，因此可以用LSSVRS方法對結構進行動力特性分析，且其效率和精度都高于UDS算法。

4 算 例

4.1 平面桁架結構

圖6所示為9根桿的平面桁架結構。已知各桿的橫截面積均為2.5×10-3m2，而各桿的彈性模量和密度為有界不確定變量，其中①、③、④、⑥、⑦、⑧號桿的參數取值范圍分別為E1=E3=E4=E6=E7=E8∈[180，220]GPa，ρ1=ρ3=ρ4=ρ6=ρ7=ρ8∈[7 760，7 960]kg/m3；②、⑤、⑨號桿的參數取值范圍分別為E2=E5=E9∈[190，210]GPa，ρ2=ρ5=ρ9∈[7 810，7 910]kg/m3。

圖6 9桿平面桁架結構Fig.6 9 bar plane truss structure

則平面桁架結構前五階自然頻率區間如表1所示。其中由靈敏度單調性判別方法[17]得到的結果是自然頻率區間的精確解。分別用UDS算法和LSSVRS算法對不確定變量取10個樣本點、40個樣本點、100個樣本點的平面桁架結構進行計算，得到自然頻率區間，并和精確解進行比較，得到分別對應上下邊界的相對誤差，其中LSSVRS算法對LSSVM回歸模型進行了200 000次隨機抽樣。

表1 不確定平面桁架結構的自然頻率區間

考慮無阻尼的情況，考查輸入在節點2的y方向自由度時節點5的y方向自由度的位移FRF包絡線。分別用UDS算法和LSSVRS算法對不確定變量取10個樣本點、40個樣本點、100個樣本點的9根桿的平面桁架結構進行FRF分析計算，得到FRF包絡線的局部區域如圖7所示，其中LSSVRS算法同樣對回歸模型進行了200 000次抽樣。圖7中點劃線為由UDS得到的FRF包絡線，虛線為由LSSVRS算法得到的包絡線，實線對應于由靈敏度單調性判別方法求得的最大最小頻率，由式(6)可知這兩條FRF曲線為所能得到的所有FRF曲線的外邊界，因此可視為有界不確定結構FRF包絡線的準確值。

(a)10個樣本點

(b)40個樣本點

(c)100個樣本點圖7 9桿平面桁架結構Fig.7 9 bar plane truss structure

4.2 空間剛架結構

圖8所示為由12個空間梁構成的空間剛架結構。已知各個梁的橫截面積為0.01 m×0.01 m，而各個梁的彈性模量、泊松比和密度為有界不確定變量，其中①、②、③、④號梁的參數取值范圍分別為E1=E2=E3=E4∈[200，220]GPa，μ1=μ2=μ3=μ4∈[0.29，0.31]，ρ1=ρ2=ρ3=ρ4∈[7 760，7 960]kg/m3；⑤、⑥、⑦、⑧號梁的參數取值范圍分別為E5=E6=E7=E8∈[190，230]Gpa，μ5=μ6=μ7=μ8∈[0.285，0.315]，ρ5=ρ6=ρ7=ρ8∈[7 810，7 910]kg/m3； ⑨、、、號梁的參數取值范圍分別為E9=E10=E11=E12∈[195，225]GPa，μ9=μ10=μ11=μ12∈ [0.295， 0.305]，ρ9=ρ10=ρ11=ρ12∈[7 790，7 930]kg/m3。

通過計算得到的空間剛架結構前五階自然頻率區間如表2所示。其中自然頻率區間的精確解仍然由靈敏度單調性判別方法得到。依然用兩種算法分別對不確定變量取10個樣本點、40個樣本點、100個樣本點的空間剛架結構進行計算，從而得到自然頻率區間及其對應上下邊界的相對誤差，其中LSSVRS算法仍然對回歸模型進行了200 000次隨機抽樣。

圖8 12梁空間剛架結構Fig.8 12 beams space frame structure

仍考慮無阻尼的情況，考查輸入在節點5的z方向自由度時節點7的z方向自由度上的位移FRF包絡線。對不確定變量分別取10個樣本點、40個樣本點、100個樣本點的空間剛架結構進行FRF分析計算，得到FRF包絡線的局部區域如圖9所示，其中LSSVRS算法同樣對回歸模型進行了200 000次抽樣。圖9中點劃線包絡線由UDS算法得到，虛線包絡線由LSSVRS算法得到，實線包絡線對應于由靈敏度單調性判別方法求得的最大最小頻率。

用UDS和LSSVRS兩種算法計算頻率區間，從表1數據可看出，隨著樣本點的增加，兩種算法結果的誤差都明顯減小，精度顯著增加；而表2中數據則顯示隨著樣本點的增加，兩種算法精度總體有所增加，但變化并不非常明顯，原因在于在樣本點較少時，算法精度已經較高。從表1和表2都可以發現，在樣本點相同的前提下，LSSVRS算法的誤差明顯小于UDS算法，因此在計算量基本相同時，LSSVRS算法在計算頻率區間時具有更高的計算精度，因此效率更高。

表2 不確定空間剛架結構的自然頻率區間

圖7和圖9分別展示了用兩種模擬方法繪制的FRF包絡線。其中的實線對應于各自頻率區間取到最大最小值時對應的FRF曲線。考慮結構無阻尼的情況，根據式(6)，FRF曲線上靠近某階自然頻率的位置，其幅值趨于無窮或0。則自然頻率區間的上邊界對應所有FRF曲線最右側的實線，而下邊界對應其左側的實線，則實線所構成的包絡線可視為無阻尼結構的FRF包絡線的準確值。從圖7和圖9可以看出，UDS和LSSVRS兩種算法得到的不確定結構FRF包絡線都包含在FRF包絡線精確范圍以內，且隨著樣本點數量的增加，兩種方法的結果都向FRF包絡線準確值靠近；同時在計算FRF包絡線時，在樣本點相同的前提下，LSSVRS算法的精度明顯較高，且以用100個樣本對9根桿的桁架進行FRF計算為例，UDS算法用時14 min 32 s，而同一臺計算機，同樣的運算參數設置下，200 000次模擬的LSSVRS算法用時1 min 56 s，且LSSVRS算法結果精度得到了較大提升。這是因為LSSVRS算法避開了耗時的頻率響應分析過程，且用代理模型進行結構分析的耗時非常短的緣故。

“4.1”的算例 有4個有界不確定變量，“4.2”的算例有9個有界不確定變量，說明兩種算法不僅能夠用于變量數較少的不確定結構，也能適用于變量數較多的不確定結構。且兩個算例中，當變量取10個樣本點時，LSSVRS算法結果的誤差就比較小，說明LSSVRS算法在小樣本條件下也有較好的性能。

5 結 論

文章將有界不確定結構中的參數變量簡化為區間變量，對變量進行區間范圍內的改進均勻試驗設計抽樣，然后在確定結構動力特性分析的有限元法和模態疊加理論基礎上，提出了區間頻率分析和FRF包絡線模擬的UDS算法以及LSSVRS算法。通過兩個算例的驗證計算發現：

(b)40個樣本點

(c)100個樣本點圖9 12梁空間剛架結構Fig.9 12 beams space frame structure

(1)LSSVRS算法在對有界不確定結構做區間頻率分析時，和UDS方法有相近的計算速率，這是因為在樣本點相同的情況下兩種算法需要進行的有限元分析次數是相等的，但LSSVRS算法計算的精度比UDS算法高；在做FRF包絡線計算時，LSSVRS算法的計算速率比UDS方法高很多，且精度也比UDS算法高。

(2)兩種算法都有較好的小樣本性能，但LSSVRS算法的計算效率、計算精度更高。

(3)兩種算法的結果都在區間頻率精確解以及FRF包絡線準確值的內部，也就是兩種算法的結果是從區間和包絡線準確值的內部向準確值進行逼近的，說明算法不存在區間擴張的問題。

(4)兩種算法同時適用于變量較多和變量較少的有界不確定結構。

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Dynamic characteristics analysis method for uncertain-but-bounded structures based on least squares SVM regression

MO Yanyu1, GUO Shuxiang2, TANG Cheng2

(1. Aeronautic and Astronautic Engineering College, Air Force Engineering University, Xi’an 710038, China;2. Science College, Air Force Engineering University, Xi’an 710051, China)

Dynamic properties analysis for uncertain-but-bounded structures was studied. To reach this goal, uncertain-but-bounded parameters were taken as interval variables, but the distributions of the variables were unknown, and then an interval model was built for each uncertain variable. After an improved uniform design sampling for each interval variable, a dynamic analysis simulation method for uncertain structures was proposed based on the deterministic structure’s dynamic properties analysis with the finite element method and the modal superposition theory. Considering the poor efficiency of the proposed method, an improved method was presented. The improved method was based on the least squares support vector machine (SVM) regression in the premise of unchanged number of sampling points, a surrogate model of SVM regression was introduced. The dynamic characteristics of uncertain structures were simulated and analyzed with this surrogate model trained. Finally, two different numerical examples demonstrated the validity of the proposed approach.

uniform design; interval model; frequency analysis; frequency response analysis; support vector machine (SVM) regression

國家自然科學基金(51175510)

2016-04-21 修改稿收到日期： 2016-09-02

莫延彧 男，博士生，1984年生

郭書祥 男，博士生導師，1964年生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.030