兩道全國卷壓軸題的別解與思考*

福建省泉州市第七中學 (362000)

黃永生 楊 丹

兩道全國卷壓軸題的別解與思考*

福建省泉州市第七中學 (362000)

黃永生 楊 丹

華羅庚先生曾有非常精辟的表述：“數形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛；數缺形時少直覺，形少數時難入微”.數形結合思想讓“數”的抽象與“形”的直觀結合，使問題的解決既直觀又入微.本文從數形結合的角度探索兩道全國卷的壓軸題的解法，希望對讀者有所啟迪.

例1 (2012年高考全國卷·理20)設函數f(x)=ax+cosx，x∈[0,π].

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；

(Ⅱ)若f(x)≤1+sinx，求a的取值范圍.

解析：(Ⅰ)略.(Ⅱ)若f(x)≤1+sinx，即ax+cosx≤1+sinx，從而ax≤sinx-cosx+1.

(1)當x=0時，a×0≤0，此時a∈R；

圖1

(Ⅰ)當a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；

(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)的零點的個數.

圖2

以上兩題的解答與高考命題者提供的參考答案比較，顯得更加優美且簡潔.用數形結合思想不但回避了分類討論和構造函數帶來的麻煩，而且思維更加流暢，更容易接近問題的本質.若要用常規思維方法解決這類問題，有一定的難度，而滲透數形結合的思想方法，則會使學生更加容易接受，更容易找到解題的突破口.

[1]黃永生,楊丹.一道試題的解法思考與改編[J].中學數學研究(江西).2016(10)：28-29.

*本文為福建省教育科學“十三五”規劃2016年度課題《基于全國課標Ⅰ卷函數與導數的考察研究》(課題編號：FJJKXB16-314)的研究成果.