思維從曲折走向自然*
——以一道高考壓軸題探究為例

福建省閩清縣教師進修學校 (350800)

黃如炎

思維從曲折走向自然*
——以一道高考壓軸題探究為例

福建省閩清縣教師進修學校 (350800)

黃如炎

數學是自然的，數學是清楚的[1]，因此數學教學應是清晰明理的．由于現行數學文本(包括教材、教輔、報刊等)的學術形態隱去了數學概念、結論、應用的形成與發展過程，以及應試教學重結果輕過程的行為，常使學生感到數學教學中有些 “規定”沒有規矩，有些推理不講道理，有些結論強加于人，這些問題嚴重阻滯了學生思維的發展．數學教學要遵循學生思維的自然形成，教師要對數學文本進行精心創作和深度開發，要根據學生已有的認知結構和學習經驗，通過教學情境創設和導思探究活動，在一波三折，峰回路轉，起伏跌宕的數學思維歷程中，挖掘文本中看不見的數學發現、數學創造的思維過程，揭示蘊含在知識背后的核心素養、數學本質和思想方法，讓思維從學生的頭腦里自然地流淌出來．

高考壓軸題蘊含著的豐富的數學核心素養的教育價值，承載著“四能”(發現和提出問題的能力，分析和解決問題的能力)的考察功能，對學生解題思維的形成極具挑戰性，是培養發展學生思維的最好素材．本文以2016年全國高考(Ⅰ)卷理科數學壓軸題的探究為例，談如何讓學生的思維從曲折走向自然．

1 標解疑惑

題目 已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點．

(Ⅰ)求a的取值范圍；(Ⅱ)略．

命題組標準解答：f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

(ⅰ)設a=0，則f(x)=(x-2)ex，f(x)只有一個零點．

(ⅲ)設a<0，…，f(x)不存在兩個零點．

綜上,a的取值范圍為(0，+∞)[2]．

2 問題探究

基于學生存在的疑惑，筆者以“當a>0時，判定函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2零點的個數”為問題，開展導思探究活動，教學過程如下．

師：請同學們回顧一下研究函數零點問題的經驗．

眾生：應用函數零點存在定理，注意數形結合，常用導數研究函數的圖像和性質．

圖1

生1(約2分鐘思考與畫圖)：f′(x)=(x-1)(ex+2a)，當a>0時，f(x)在(1，+∞)上單調遞增，在(-∞，1)上單調遞減，f(1) =-e<0．如圖1，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上各有一個零點，故a>0時，f(x)有兩個零點．

師：大家同意她的解法嗎？

生2：怎知道f(x)圖像左右兩側都是向上無限延伸？

生3：似乎理由也不夠充分，根據零點存在定理，要在區間(-∞，1)和(1，+∞)上各找到一個數使其函數值大于零．

師：當x→±∞時，f(x)→+∞，說明生1所畫圖像正確．直覺有助于思維，但不能替代證明．

師：為什么尋找不到小于1的常數使其函數值大于零？能否從式子的形式結構進行研判？

師：分析的好！x不能取常數那該取什么呢？

生5：根據以往經驗取x關于a的式子，如取x= 1-a<1，f(1-a)=-(a+1)e1-a+a3，此式也不能保證大于零，因為還含e1-a難以計算．

眾生(嘗試失敗，感到山窮水盡疑無路)：取很多x關于a的式子都不能使其函數值大于零．

師：剛才我們的思維本質是尋找具體的x，當x<1且x為常數或x=g(a)時，f(x)>0．現在知道不可能了，那能否擴大尋找范圍，如把尋找x=g(a)改為x

生6：為什么考慮尋找xg(a)？

師：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”(數學家華羅庚語)

生7：“數形結合百般好，隔離分家萬事休”(華羅庚語)．由f(x)圖像知當g(a)0不成立．

眾生：一陣掌聲．

生8：x<1時，怎樣尋找x0？

師：當x<1時，看可否把不等式f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2>0化歸為x

眾生(思路再次受挫)：含ex怎化呢？

師：化繁為簡，可考慮把ex放縮為簡單的式子．

眾生：掌聲雷動．

師：生9把ex放大為簡單的e避免了超越運算，我們為他的機智而喝彩，還有別的放縮方法嗎？

師：同學們太了不起了，老師還沒看到哪本書刊有這么自然優美的解法，你們發現的解法是原創！

生13：把ex放大為關于a的式子．考慮到f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2右邊第二項含a，為使右邊放縮為積的形式，令ex

師：是啊，可以考慮一般的情形．

生15(約5分鐘思考與整理)：令ex0)，當x<1時，(x-2)ex+a(x-1)2>(x-2)ka+a(x-1)2=a[x2+(k-2)x+1-2k]．

師：棒極了，又是一種原創！

我還原了高考命題專家的心路歷程，我也會高考命題了！

眾生：掌聲如潮，學生臉上露出前所未有的自信和喜悅．

師：思想方法比知識更重要，請大家總結今天的探究用到哪些數學思想方法．

眾生：數形結合、化歸與轉化、分類與整合、函數與方程、有限與無限、具體與抽象、特殊與一般、分析法、綜合法、放縮法、待定系數法、配方法、換元法，…

師：我欣慰的感到同學們邏輯推理，數學運算，直觀想象，數學抽象素養在提升．

(在掌聲和下課鈴聲中師生說“再見”．此“再見”不僅是禮儀用語更是學生心語，是他們對美好數學探究活動的期盼．)

3 教學體悟

3.1 自然方能內化

知識的內化如同生理上的消化一樣，食物要經過加工烹飪和彎彎曲曲腸道的消化，營養才能被人體吸收．這種消化是曲折的也是自然的．自然的才能內化，內化了方能優效，這是教學不可違背的規律．為使學生的學習能“何由以知其所以然”，教師應對數學文本進行加工和創作，通過教學情境創設和導思探究活動，在一波三折、峰回路轉和“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的數學思維歷程中，引發學生的發現與創造．從而使數學課堂彰顯了自然的本色，彌漫著自然的芬芳，讓數學教學不是莫名其妙和強加于人．教學要力求自然，要揭示本質，讓定義生成自然；展示背景，讓概念形成自然；練習鞏固，讓目標達成自然；創設情境，讓問題提出自然；歸納類比，讓定理發現自然；探究分析，讓解題思路自然；尋求聯系，讓章節過度自然；一題多變，讓習題延伸自然；交流反思，讓思想體悟自然．

3.2 導師貴在導思

發展核心素養要求學生應具有理性思維，批判質疑，勇于探究的科學精神．數學教育的根本任務在于發展學生的思維，讓學生能用數學的思維分析現實世界．數學課堂的精髓是學生在教師引導下的深度思考．要引發學生的思維，教師要示以學生思維發展之道，課堂要變教為導，變學為思，以導達思，即教師要變為導師，導師貴在導思．課堂上教師創設問題情境，學生思考回答問題，師生對所答問題進行評價修正，引發學生進一步思考．學生思考過程中產生疑惑或思維碰撞或有助于問題解決的想法，教師給于點撥分析引導，學生再嘗試探究直至問題解決．教師要能理解學生的思維基礎，洞察學生的思維困惑，在思維的循循善誘上下功夫，精心創設思維引導語．導語要順應學生原有認知結構、思維方式和學習經驗，要貼近學生思維最近發展區和思維潛在發展區．導語要呈階梯式一步一步通向目標，要有一定的思維度，能啟迪學生的心智，學生深思熟慮后豁然開朗．教師可通過一系列追問來激活學生的思維，如“解決這類問題有何經驗？”“問題是怎樣發現的？”“你是怎樣想到的？”“式子的形式結構是什么？”“式子有圖形背景嗎？”“問題的特殊情形是什么？”“問題的一般情形是什么？”“數學(思維)本質是什么？” “能否找到與它相似的問題？”“如何進行化歸與轉化？”“能否從更廣范圍看問題？”“還有別的研究視角嗎？”“知識背后蘊涵著什么數學思想方法？”等．通過環環相扣，跌宕起伏的導思、探究、領悟、互助，引發了學生思維的自然流瀉和靈動創新．

[1]劉紹學．普通高中課程標準實驗教科書﹒數學1-5必修[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2]教育部考試中心．2016年普通高等學校招生全國統一考試試題、參考答案[M]．福州：福建省教育考試院，2016．

*本文系福建省教育科學“十三五”規劃2016年度課題“高中數學課堂結課策略的研究”(立項批準號：FjjkxB16—169)的階段研究成果．