《固體物理學》中基于Matlab的動態晶面標示

李建軍

摘要：《固體物理學》的紙質教材中，一般只給出一些典型的晶面，且觀察視圖的角度是固定的。本文利用Matlab的圖形顯示功能，通過開發Matlab源程序，不但可實時顯示任意設定的晶面，而且能對視圖做三維旋轉，從不同角度來觀察晶面，增加了課程教學的生動性、直觀性和交互性。

關鍵詞：固體物理；晶面；Matlab

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）16-0213-02

固體物理學是研究固體的結構及由結構決定的固體的熱學、電學、光學和磁學等性質并闡明其用途的一門科學[1]，其中的固體指的是晶體，而晶體最基本的性質是微觀周期性。由于晶體的微觀周期性決定了固體材料性質的各向異性，體現為在不同的晶面上或沿不同的晶向材料的性質不同。為了區分不同的晶向或晶面，可用晶向指數或晶面指數來標示[2]，其中晶面的標示不但是《固體物理學》教學的重點，也是課程教學中的難點。然而，在傳統的紙質教材中，由于其自身的限制只能給出一些特殊的晶面，不可能羅列所有的晶面，且晶面顯示的角度是固定的。即使利用3DS MAX[3]、Rasmol[4]或VRML語言[5]等開發的模形也不能實現實時交互功能。為此，本文充分發揮計算機的動態顯示優勢，通過Matlab語言編寫程序，只要輸入任意的晶面的指數即可實時地顯示需標示的晶面，同時利用軟件的三維旋轉功能可從不同角度來動態觀察。實踐表明，該方法在教學中具有實時、動態、精確和可視化的優點。

一、晶面的標示方法

固體物理學中，晶面用三個互質的整數h，k和l加圓括號來標示，即（hkl）[1]。需要說明的是，（hkl）表示一族平行的晶面而不是某一個晶面。由于晶體的周期性，平行晶面族中各晶面的性質是等價的，因此通常只需在原胞或晶胞中畫出距原點最近的一個面即可。以立方晶系為例，圖1（a）在晶胞中畫出了（hkl）面，該面與三個晶軸a，b和c的截距分別為1/h，1/k和1/l，即可用頂點坐標分別為（1/h，0，0），（0，1/k，0）和（0，0，1/l）的三角形來圖示。在實際中有以下幾種特殊情形需注意：

1.當h，k和l中有一項為零時，其倒數為無究大，表示晶面與對應的晶軸平行無交點，這時的晶面需用平行四邊形來表示。例如，（0kl）面與a軸平行，如圖1（b）所示，平行四邊形的四個項點坐標分別是：（0，1/k，0），（1，1/k，0），（0，0，1/l）和（1，0，1/l）。

2.當h，k和l中有兩項為零時，表示晶面與兩個對應的晶軸平行無交點，這時的晶面同樣需用平行四邊形來表示。例如（0k0）面與a軸和c軸平行，如圖1（c）所示，平行四邊形的四個項點坐標分別是：（0，1/k，0），（1，1/k，0），（1，1/k，1）和（0，1/k，1）。

3.當h，k或l取負值時，晶面與對應軸的截距在軸的負方向，為了將晶面標示在晶胞內而不是晶胞外，需進行一個單位的平移。例如（hkl）面與a，b和c軸的截距分別為1/h，-1/k和1/l，如圖1（d）所示，為了將其在晶胞內表示，晶面的三個頂點坐標分別為：（1/h，1，0），（1，1-1/k，0）和（0，1，1/l）。

二、晶面動態標示的Matlab實現

對于設定的面指數，用Matlab語言進行動態標示的具體過程說明如下。

1.畫立方晶胞。（1）用8行3列的二維矩陣p（8，3）設定立方晶胞8個頂點的三維坐標，其中每一行與一個頂點對應，3列數值分別對應各頂點在a，b，c軸上的投影。（2）用8個頂點構建表示立方晶胞12條邊的三維數組line（2，3，12）。以第i條邊為例，line（2，3，i）是一個2行3列的二維矩陣，其第一行與邊的起點坐標對應，第二行與邊的終點坐標對應。（3）根據三維數組line（2，3，12），利用Matlab的三維畫線函數plot3繪制立方晶胞。（4）標注原點、晶軸及圖題等。

2.標示晶面。（1）根據給定的晶面指數，確定標示在晶胞中的晶面頂點坐標。判斷h，k和l中是否有零值來決定晶面是平行四邊形還是三角形，并確定各頂點坐標。各頂點在a，b和c軸上的投影分別存放在一維列矩陣X，Y和Z中。（2）根據給定的晶面指數，判斷h，k和l中是否有負值，如有負值，則應將晶面平移一個晶格常數，以便在晶胞中顯示。如果h<0，則列陣X中的所有單元應加1，同理，如果k<0，則Y中的所有單元應加1，如果l<0，則Z中的所有單元應加1。（3）標示晶面。根據矩陣X，Y和Z中晶面頂點的坐標值，利用Matlab的fill3函數繪制晶面，并進行透明設置和開啟鼠標3維旋轉功能。

三、應用實例

圖2給出了用Matlab顯示的（100）、（110）和（2■1）面的截圖結果。在Matlab環境下，可以利用鼠標的左鍵旋轉視圖，從不同方向觀察晶面。

四、結語

對于大部分本科生來說，《固體物理學》是一門枯燥且抽象的課程，如何將深奧的理論教學與現代多媒體教育手段有效結合，激發學生的學習興趣，是值得思考的問題。本文基于Matlab語言，充分發揮計算機多媒體教學的優勢，可實時動態地顯示任意設定的晶面，增加了課程教學的生動性、直觀性和交互性。希望能對相關理論課程的教學有一定的啟迪作用。

參考文獻：

[1]方俊鑫，陸棟.固體物理學（上冊）[M].上海：上海科學技術出版社，1980.

[2]黃昆.固體物理學[M].北京：高等教育出版社，1988.

[3]章天金，馬志軍，江娟，潘瑞琨.三維動畫技術在固體物理學教學中的應用[J].沈陽師范大學學報（自然科學版），2007，25（4）：454-456.

[4]顧燕紅，黃曉江.用RasMol軟件制作晶體結構的課件[J].物理與工程，2006，16（3）：33-34.

[5]孟祥東，華中.VRML語言及在固體物理教學中的應用[J].吉林師范大學學報（自然科學版），2004，（2）：40-42.