關(guān)于近世代數(shù)的幾點(diǎn)教學(xué)體會(huì)

武利猛++張娟++鄭國(guó)萍++楊曉靜

摘要：近世代數(shù)是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)必修課，主要講授群、環(huán)、域的基本概念和相關(guān)理論。作為高等代數(shù)的后繼課程，在很大程度上依賴(lài)于高等代數(shù)的基礎(chǔ)理論和邏輯思維能力，卻又比高等代數(shù)理論抽象得多。作者根據(jù)自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段三方面進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：近世代數(shù)；群；環(huán)；域

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2017）16-0205-02

近世代數(shù)是我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)必修課，該課程概念眾多，理論知識(shí)多以證明為主，具有高度的抽象性，對(duì)于集體授課而言，學(xué)生很難掌握。近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)眾多研究者開(kāi)始運(yùn)用近世代數(shù)的理論知識(shí)來(lái)解決科學(xué)研究問(wèn)題，這些愈來(lái)愈突發(fā)出近世代數(shù)這門(mén)課程的重要性。因此，對(duì)于高等學(xué)校講授近世代數(shù)這門(mén)課程的教師而言，更加需認(rèn)真思考如何更好地講授這門(mén)課程。

一、教學(xué)內(nèi)容

在我校，近世代數(shù)作為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)必修課，安排在第二學(xué)期開(kāi)設(shè)，共54學(xué)時(shí)，參考教材是楊子胥編寫(xiě)的《近世代數(shù)》。為了讓學(xué)生更多地了解近世代數(shù)這門(mén)課程，同時(shí)又不對(duì)其缺乏興趣，我校對(duì)近世代數(shù)這門(mén)課程作如下安排：

第一章：基本概念，分配8學(xué)時(shí)；第二章：群，分配16學(xué)時(shí)，其中群在集合上的作用因課時(shí)關(guān)系不講；第三章：正規(guī)子群和群的同態(tài)、同構(gòu)，分配8學(xué)時(shí)，其中群的同構(gòu)定理和Sylow定理因課時(shí)關(guān)系不講，留給學(xué)生自行閱讀。第四章：環(huán)與域，分配18學(xué)時(shí)，其中非交換環(huán)因課時(shí)關(guān)系，僅留學(xué)生課后閱讀；第五章：唯一分解整環(huán)，分配4學(xué)時(shí)，其中歐氏環(huán)、唯一分解整環(huán)的多項(xiàng)式擴(kuò)張因課時(shí)關(guān)系不講。

在教學(xué)內(nèi)容上，注重與高等代數(shù)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性。如講授唯一分解多項(xiàng)式時(shí)，可以認(rèn)為高等代數(shù)中講授的不可約多項(xiàng)式是本門(mén)課中的一個(gè)特例，也可以認(rèn)為近世代數(shù)所給的結(jié)論是高等代數(shù)所給結(jié)論的推廣。

二、教學(xué)與教學(xué)手段

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，多媒體技術(shù)已不斷走進(jìn)課堂。近世代數(shù)作為一門(mén)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)課程，很多教師在講授時(shí)會(huì)利用傳統(tǒng)的教法，即板書(shū)去教學(xué)。我校在講授近世代數(shù)時(shí)是利用投影儀、PPT以及板書(shū)相結(jié)合的形式教學(xué)的。這樣在教學(xué)中會(huì)有很多的好處：第一，省去了大量寫(xiě)定義和定理內(nèi)容的時(shí)間；第二，如果需要講授名人傳記或者顯示彼此關(guān)系時(shí)，PPT會(huì)更加直觀；第三，對(duì)于人數(shù)較多的大班集體授課時(shí)，PPT顯示會(huì)更加清晰，使得講解更加生動(dòng)，從而提高課堂效果和學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容的理解。

個(gè)人認(rèn)為，學(xué)好一門(mén)課程，最好的動(dòng)力就是興趣。然而并不是所有數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生都對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，而且我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生大多是調(diào)劑而來(lái)的，他們并非都喜歡數(shù)學(xué)。因此培養(yǎng)學(xué)生對(duì)近世代數(shù)這門(mén)課程的興趣就尤為重要。在講授第一章基本概念時(shí)，教師會(huì)運(yùn)用更多生活中的實(shí)例來(lái)講解概念；在講授第二章群時(shí)，教師會(huì)首先給學(xué)生講兩位數(shù)學(xué)家，一位是N.H.Abel，一位是E.Galois。大概會(huì)利用十分鐘的時(shí)間來(lái)講一講兩位數(shù)學(xué)家的傳奇人生，這雖然占據(jù)了一定的課堂時(shí)間，但是會(huì)引起學(xué)生們的興趣，想知道什么是群，取得事半功倍的效果。在講授Cayley定理時(shí)，教師會(huì)講一講關(guān)于A.Cayley的數(shù)學(xué)工作，這樣學(xué)生不但記住了A.Cayley定理，更激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

近世代數(shù)關(guān)于定義和定理的證明特別多，我校關(guān)于近世代數(shù)授課只有54學(xué)時(shí)，而且隨著學(xué)校發(fā)展的轉(zhuǎn)型，近世代數(shù)課程會(huì)減為48學(xué)時(shí)。因課時(shí)有限，不可能全部定義和定理都講，教師會(huì)選取合適難度的定義和定理給學(xué)生講解。在講授定義和定理證明時(shí)，教師會(huì)把主要結(jié)果顯示在PPT中，而定理證明的過(guò)程全部用板書(shū)的形式演示。通過(guò)幾年的觀察發(fā)現(xiàn)把主要結(jié)果顯示在PPT中，教師用板書(shū)把定理的證明逐步逐條地演示出來(lái)效果非常好，因?yàn)閷W(xué)生會(huì)一直清楚自己在證明什么結(jié)果，這樣能夠時(shí)刻吸引學(xué)生的注意力，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。同時(shí)在講授定義和定理結(jié)束后，教師會(huì)盡可能的找一些具體例子驗(yàn)證結(jié)果的成立性。如講授群的定義后會(huì)直接驗(yàn)證整數(shù)集合關(guān)于普通加法作成一個(gè)群，同時(shí)指出0是左單位元是固定的元素，任意元素a的左逆元為-a，會(huì)隨著a的變化而變化。講授正規(guī)子群后會(huì)直接驗(yàn)證：由5的倍數(shù)的全體集合作成整數(shù)加群的正規(guī)子群，同時(shí)讓學(xué)生寫(xiě)出兩者所生成的商群；關(guān)于商群，大家通過(guò)概念知道是群G關(guān)于正規(guī)子群N的互異陪集的集合，但真正去寫(xiě)出商群，對(duì)于初學(xué)者還是很困難的，因此教師會(huì)教給學(xué)生如何去寫(xiě)。

在講授近世代數(shù)過(guò)程中，有很多定理、推論的地方書(shū)中都沒(méi)有給予證明，教師會(huì)對(duì)其中重要的理論在課上給予證明，而其他學(xué)生感興趣的理論教師會(huì)在自習(xí)課上講解。教師會(huì)在教學(xué)中讓學(xué)生思考：如果命題中少了一個(gè)條件，結(jié)論還會(huì)成立嗎？讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三。如在講解群的定義時(shí)會(huì)讓學(xué)生思考：如果把定義中的左單位元改成右單位元，其他條件不變還和原定義等價(jià)嗎？以及把定義中左單位元改成右單位元，其他條件不變還和原定義等價(jià)嗎？課上會(huì)用例子告訴學(xué)生這是不可以的。

每節(jié)課，教師都會(huì)給學(xué)生布置一定量的作業(yè)，下一節(jié)課會(huì)指定學(xué)生來(lái)講，這樣學(xué)生會(huì)對(duì)相關(guān)問(wèn)題了解得更加透徹。因?yàn)橹挥袑W(xué)生親自計(jì)算過(guò)，證明過(guò)，演示過(guò)，才能掌握。只聽(tīng)不做、只看不想是無(wú)法學(xué)好數(shù)學(xué)的。做一定量的作業(yè)不但讓學(xué)生加深了印象，而且有助于師范生掌握教學(xué)技巧，得到一定的鍛煉。

隨著學(xué)校向應(yīng)用型大學(xué)轉(zhuǎn)型，近世代數(shù)課程也需要在教學(xué)內(nèi)容、教材和教法上作出改變。通過(guò)調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)近世代數(shù)中的理論在很多實(shí)際問(wèn)題中如數(shù)字通信的可靠性和保密性問(wèn)題中都有廣泛的應(yīng)用。因此借助于學(xué)校轉(zhuǎn)型的機(jī)遇，教師會(huì)思考如何將近世代數(shù)課程轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用型課程。

三、結(jié)束語(yǔ)

近世代數(shù)是一門(mén)十分抽象的數(shù)學(xué)課程，如何讓學(xué)生熱愛(ài)近世代數(shù)，喜歡學(xué)習(xí)近世代數(shù)，是每一位老師都應(yīng)該認(rèn)真思考的永恒課題。總之，講好一門(mén)課需要每一位教師不斷地去思考，不斷地去實(shí)踐和總結(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]石生明.近世代數(shù)初步[M].北京：高等教育出版社，2002.