基于ARMA模型的股價預測及實證研究

劉偉龍

【摘 要】在現實中很多問題，如利率波動、收益率變化及匯率變化通常都是一個時間序列。然而經濟時間序列不同于橫截面數據存在重復抽樣的情況，它是一個隨機事件的唯一記錄，這個過程是不可重復的。橫截面數據中的隨機變量可以非常方便地通過其均值、方差或數據的概率分布加以面熟，但是時間序列中這種描述很不清楚，這就需要用一些特定的計量方法和手段分析其變化規律。ARMA模型在經濟預測過程中即考慮了金融市場、股票市場指標在時間序列上的依存性，又考慮了隨機波動你的干擾性，對其指標短期趨勢的預測準確率較高，它用有限參數線性模型描述時間的自相關結構，便于進行統計分析與數學處理，因此ARMA模型是目前常用的用于擬合平穩序列的模型，尤其在金融和股票領域具有重要意義。本文將利用ARMA模型結合民生銀行股票的歷史數據建模，并運用該模型對招商銀行的股票日收盤價進行預測，從而推斷其未來趨勢。

【關鍵詞】ARMA模型；金融時間序列；平穩序列；收益率；股價預測

一、ARMA模型的理論介紹

ARMA（p，q）模型是由美國統計學家Box GEP和贏過統計學家Jenkins GM在二十世紀七十年代提出的時間序列分析模型，即自回歸移動平均模型，一般的ARMA（p，q）模型的形式可以表示為：

yt=c+Φ1yt-1+Φ2yt-2+...+Φpyt-p+εt+θ1εt-1+θ2εt-2+... +θqεt-q

其中：εt是白噪聲序列，p和q是非負整數，AR和MA模型都是ARMA模型的特殊情況，p=0時，ARMA模型為MA（q），q=0時，ARMA模型為AR（p）。ARMA模型針對的是平穩序列，對于非平穩的時間序列，不能直接用ARMA模型去描述，只有經過某種處理后，產生一個平穩的新序列，才可應用ARMA模型。對于含有短期趨勢的非平穩序列可以進行差分使非平穩序列變成平穩序列。

二、對民生銀行的股票日收盤價的實證分析及預測

在wind資訊數據庫選取民生銀行（600016）的股票日收盤價數據，時間區間為2013/5/22至2016/1/15共計649個樣本。下面旨在利用ARMA模型的建模理論結合軟件STATA進行ARMA模型的建立和預測分析。

（一）原始數據的平穩化處理

由于這段時間股市波動較大，通常是不平穩的，需要對原始數據進行處理才能平穩。首先，通過STATA畫出原始數據的時間序列圖和一階查分后的序列圖，如下圖：

可以看出民生銀行這段時間價格是不平穩的（左圖），而對原始數據進行差分后的序列圖（右圖），可以看出大致平穩。

因此需要進一步通過ADF檢驗，確定一階差分后的序列是否平穩。ADF檢驗，發現其t統計量絕對值通過百分之1的顯著檢驗。即數據一階差分后是平穩的。至此，即完成了原始數據的平文化處理。圖2為進行一階差分后的股價時間序列，可以看到其通過ADF檢驗。

（二）收盤價序列的自相關圖和偏相關圖識別

觀察收盤價的原始數據的自相關圖和偏自相關圖，發現其自相關衰減緩慢，因此收盤價序列price_ms為非平穩序列。然而，一階查分后序列d_price的自相關圖和偏相關圖都沒有明顯的截尾性，因此需要使用ARMA模型進行模型的建立，具體的滯后項p，q值還需用AIC準則和T統計量顯著性來具體確定。由于經濟變量一般都為3階以內的ARMA模型，選取了9種模型進行比較，ARMA（2，1，2），ARMA（3，1，3），ARMA（1，1，1），ARMA（1，1，3），ARMA（2，1，3），ARMA（1，1，2），ARMA（3，1，2），ARMA（3，1，1）。選擇考察變量為一階差分后的序列數據，考察樣本的范圍為2013/5/22至2016/1/12，留下2016/1/13、2016/1/14、2016/1/15的值用于預測精度。由以上幾個模型的檢驗結果，綜合t統計量顯著性和AIC準則這兩項檢驗指標看，經比較得出：ARIMA（2，1，2）模型中的系數十分顯著，且AIC值相對較小，因此利用ARIMA（2，1，2）模型對民生銀行的股票日收盤序列進行建模。

（三）收盤價序列模型的建立與估計

根據上面模型的識別與選擇，選用ARIMA（2，1，2）作為最佳預測模型，估計該模型的參數及模型的相關檢驗結果。結果顯示，ARMA（1，1，2）的參數估計中AR（1）、AR（2）和MA（1）、MA（2）的系數具有統計意義，而常數項C并沒有顯著性，因此除去常數C，對ARIMA（2，1，2）模型再次進行估計和檢驗。因此可對其建立模型，其對應的模型表達式為：

D_PRICEt=1.5451D_PRICEt-1-0.9827D_PRICEt-2+-1.53770.9999

式中，為殘差序列。AR（1）、AR（2）、MA（1）和MA（2）的特征根均大于1，故滿足平穩性要求。

（四）收盤價序列模型的殘差檢驗

參數估計后，還需要對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，若殘差序列不是白噪聲序列，那么殘差序列還存在有用信息沒被提取，需要進一步改進模型；如果殘差序列的樣本自相關系數都落入隨機區間內，即沒有任何自相關個別地在統計上顯著，則可以說殘差序列是純隨機的，利用STATA軟件，對殘差進行檢驗。其結果顯示概率值都大于0.05，說明所有Q值都小于檢驗水平為0.05的卡方分布臨界值，即已建立的模型的隨機誤差項是一個白噪聲序列，因此該模型的建立是合適的。

（五）對收盤價進行預測分析

下面利用前面已建立好的ARIMA（1，1，2）模型對民生銀行股票日收盤價格進行預測，由于股票的價格變動比較大，因此在短期內進行預測可以得到比較好的結果，但是長期預測的效果會有較大的誤差。所以本文主要進行股票價格的短期預測，預測2015/12/24的收盤價格。

由于2016/1/13、2016/1/14、2016/1/15民生銀行的收盤價為8.63、8.29、8.5，而通過預測得到的收盤價為8.58、8.57、8.53，誤差分別為0.05、0.28、0.03，較為準確。由此也進一步驗證，該模型是較為準確的，對該股票的收盤價預測具有一定意義。

三、結論

本文利用時間序列分析的Box—Jenkin建模思想，對民生銀行的股票日開盤價這一時間序列進行模型的建立和實證分析，了解金融市場中股票價格的基本特征。

首先，對樣本序列進行平穩性判別；其次，對已識別模型進行估計，由殘差檢驗顯示得到的模型是合理的；最后，通過參數的估計值建立相應的模型并計算出序列短期的點預測。在整個建模的過程中，通過STATA軟件可以方便得出序列的模型并且有較高的擬合度。

綜上所述，ARMA模型較好地解決了非平穩時間序列的建模問題，借助STATA軟件可以方便地將arma模型應用于金融等時間序列問題的研究和預測。為決策者和投資者提供決策指導。

【參考文獻】

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