基于強震觀測和ARMAV模型的混凝土壩模態識別

程 琳， 楊 杰， 鄭東健， 任 杰

(1. 西安理工大學 西北旱區生態水利工程國家重點實驗室培育基地，西安 710048； 2. 河海大學 水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 210098)

基于強震觀測和ARMAV模型的混凝土壩模態識別

程 琳1,2， 楊 杰1， 鄭東健2， 任 杰1

(1. 西安理工大學 西北旱區生態水利工程國家重點實驗室培育基地，西安 710048； 2. 河海大學 水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，南京 210098)

采用混凝土壩的實測振動響應識別結構模態參數是進行結構動力特性研究的一種可行的方式。基于混凝土壩的強震觀測數據，提出采用矢量自回歸滑動平均模型(Auto-Regressive Moving Average Vector，ARMAV)和穩態圖法來進行混凝土壩結構模態參數識別。研究了結構實測振動響應時間序列的ARMAV模型表達形式，并通過引入輔助變量(Instrumental Variable，IV)技術，來求解模型中的未知系數；通過研究ARMAV模型系數矩陣與結構系統矩陣的關系，以便為結構模態識別提供理論依據；根據綜合了各測點觀測信息的平均標準化功率譜(Average Normalized Power Spectrum Density，ANPSD)來對傳統的穩態圖法進行改進，以實現強震激勵下混凝土壩的系統定階和虛假模態剔除。通過一個數值算例和一個工程實例，驗證了提出的基于強震觀測和ARMAV模型的結構模態參數識別方法的精度、有效性和工程適用性。

強震觀測；模態識別；矢量自回歸滑動平均模型；輔助變量；平均標準化功率譜

模態參數識別可應用于結構的損傷診斷、動力模型修正和抗震分析等領域，具有重要的研究意義[1]。大壩強震觀測[2-3]是利用安裝在大壩和自由場上的強震儀，測量的“大壩-水庫-地基”系統在地震激勵下的動力響應，是一種特殊的結構振動觀測數據。大壩強震觀測符合結構的實際工況及邊界條件，由其識別的模態參數能真實地反映結構工作狀態下的動力特性?；趶娬鹩^測進行結構模態參數識別屬于結構運行模態分析(Operational Modal Analysis，OMA)的范疇，其通過對環境激勵進行一定假設，實現基于實測振動響應數據的結構模態參數識別。在水利工程領域，寇立夯等[4]和譙雯等[5]采用帶輸入的自回歸(Auto Regressive eXogenous，ARX)模型，分別根據二灘拱壩和水口重力壩的強震觀測識別了大壩的模態參數；張力飛等[6]對龍羊峽拱壩的地震響應實測資料進行了分析，對拱壩的頻率、阻尼、振型等模態參數進行了識別，并和原型激振試驗的結果進行了對比；LOH等[7]采用隨機子空間識別(Stochastic Subspace Identification，SSI)方法，基于強震觀測資料對翡翠拱壩的模態參數進行了識別，并研究了庫水位對模態參數的影響；DARBRE等[8-9]分別采用頻域法研究了拱壩的系統識別問題。環境激勵下的模態參數識別方法主要包括頻域類方法、時域類方法、盲源分離法和時頻分解算法等[10-11]。在時間域內，根據結構的隨機振動響應進行模態識別，是近十幾年來隨著計算機技術發展起來的一種方法，具有魯棒性強和識別精度高等諸多優點。時域的模態參數識別方法包括特征系統實現算法(Eigensystem Realization Algorithm，ERA)[12]、隨機子空間識別方法和時間序列模態方法?；炷翂问且环N體型巨大的工程結構，結構的自由度高，模態密集，受工作環境干擾的影響顯著，給結構的模態分析帶來了很大困難。此外，作為激勵源的地震本身性質也十分復雜，可能存在優勢的頻率成分，可能難以滿足常規模態識別方法中的高斯白噪聲假設，給結構模態參數識別帶來虛假模態剔除和系統定階的困難。

鑒于此，本文基于混凝土壩的強震觀測，提出了一種基于矢量自回歸滑動平均模型(Auto-Regressive Moving Average Vector，ARMAV)[13-14]和穩態圖法的模態參數識別方法。采用ARMAV模型將混凝土壩各通道的強震觀測表達為矢量時間序列模型，通過引入輔助變量(Instrumental Variable，IV)[15-17]來進行模型的求解；通過研究ARMAV模型系數矩陣和結構系統矩陣的關系，進一步研究結構模態參數的識別方法。然后采用平均標準化功率譜(Average Normalized Power Spectrum Density，ANPSD)來對傳統的穩態圖進行改進，以實現系統定階和虛假模態剔除。文章通過一個數值算例和一個混凝土重力壩的工程實例，對提出的模態識別方法進行了驗證。

1 振動時間序列的ARMAV模型

如果假定地震激勵uk和觀測噪聲wk均為帶限白噪聲，線性一般黏性阻尼結構的振動可以采用狀態空間模型來進行表達。通過離散采樣(采樣間隔為Δt)，結構的振動可以采用隨機離散狀態空間模型來進行表達，即

(1)

式中：A為離散狀態空間矩陣；B為離散輸入矩陣；G為觀測矩陣；zk為狀態變量。隨機激勵wk和觀測噪聲vk滿足式(2)

(2)

同時，n自由度的線性系統，激勵與響應之間的關系還可用高階微分方程來描述，在離散時間域內，該微分方程變成由一系列不同時刻的時間序列表示的差分方程(組)。如果假定地震激勵和觀測噪聲均為白噪聲序列，實測的l個通道的大壩強震響應時間序列yk∈Rl可以采用ARMAV時序模型方程來進行表達，即

(3)

式中：αj為自回歸模型對應的參數；βj為滑動平均模型對應的參數；ek為零均值高斯序列，用來模擬地震激勵和觀測噪聲；f為模型階數。

(4)

2 基于IV技術求解ARMAV模型和結構模態識別

2.1 IV技術

(5)

(6)

(7)

定義Hankel矩陣

(8)

和

(9)

(10)

α可以根據最小二乘方法進行估算

(11)

2.2 模態識別

為了進行模態參數識別，需要研究α與結構系統矩陣A的關系。對H(0)進行奇異值分解H(0)=USVT；代入式(11)可以得到

(12)

將H(0)的奇異值分解改寫為以下的形式

(13)

式中：Sn為n個最大特征值為對角元素的對角矩陣；Un和Vn為對應的特征向量。

根據SSI法的理論推導，可以得到

(14)

根據式(13)可以得到

(15)

和以下的Moore-Penrose廣義逆

(16)

考慮到UUT=I，結合式(10)和式(14)，可以得到

(17)

令Φ和Ψ分別是矩陣A和α的特征向量，則可以推導出矩陣A和α的特征向量之間存在以下關系

(18)

根據離散系統矩陣A和連續系統矩陣Ac的關系A=eAcΔt，可以得到離散系統的特征值λi和連續系統特征值λci間的關系λi=eλciΔt，(i= 1,2,…,n)。這時，結構的自振頻率fi和阻尼比ξi可以采用以下的式進行計算

(19)

式中：Real{λi}和lm{λi}分別計算λi的實部和虛部。

根據觀測方程可知，l個測量自由度對應的振型的分量由以下表達式進行計算

(20)

觀測矩陣G可以從矩陣O的前l行的子塊中得到。

3 改進的穩態圖法

混凝土壩結構本身的自由度是無限的，但由于振動激勵和數據采樣的原因，實際可識別的結構模態階數n是有限的。如何確定模態階數n，并有效剔除地震激勵中優勢頻率引起的虛假模態是利用強震觀測進行結構模態參數識別的一個重要問題。穩態圖法[18]是目前解決系統定階和剔除虛假模態問題最具有優勢的方法。穩態圖法的基本思路是依次假定模型系統的階次為dmin，dmin+ 2，…，dmax(dmin和dmax均為偶數)，可以得到相應于不同階數的狀態空間模型，逐次對各個階次的模型進行模態參數辨識，再將所有得到的模態參數繪制于同一幅圖上。用在某一模型階數下估計得到的特征頻率、阻尼比和模態振型與取前一更小模型階數時得到的估計值進行比較，以此類推，如果所得差值一直保持在預先設定的穩定準則范圍內，則認為估計得到的模態特征是穩定的物理模態。隨模型階次的增加，圖中各穩定極點會排列為一條縱向直線，稱為穩定軸。相反，虛假模態的極點隨著階數的增加變得分散，并非穩定。

在傳統的穩態圖中，橫坐標為頻率，縱坐標為系統矩陣的階數，背景曲線通常采用功率譜密度函數SXX(ω)。隨機信號x(t) 的自功率譜密度函數(自譜)是隨機信號自相關函數Rxx(t)的傅里葉變換。

(21)

(22)

4 算例

4.1 數值驗證

采用本文提出的ARMAV時間序列模型法對圖1所示的4自由度集中質量系統的模態參數進行識別。其中的參數：m1=m2=m3=1.0 kg，m4=0.9 kg，k1=k3=7 000 N/m，k2=k4=8 000 N/m，c1=c2=0.6 N·s2/m，c3=c4=0.55 N·s2/m，系統的初始狀態設為零。地震激勵ag(t)采用Koyna地震波(x向)。結構的振動觀測物理量是絕對加速度，采用加速度響應的計算結果加上一定水平的噪聲來模擬。結構振動響應的計算采用Runge-Kutta 算法來實現，模擬加速度觀測的采樣頻率是100 Hz。模擬強震響應信號見圖2。四階模態參數，自振頻率、阻尼比和模態振型的理論值見表1。

圖1 受地震激勵的四自由度集中質量系統

(a) m1

(b) m2

(c) m3

(d) m4

表1 模態參數的理論值

設定系統自由度n=8，參數p=200，f=20，在不同信噪比(Signal Noise Ratio， SNR)水平下，采用ARMAV方法識別得到的自振頻率和模態置信因子(Modal Assurance Criteria，MAC)見表2。從表中可以看出，在SNR較高的情況下，ARMAV的模態識別精度較高；隨著SNR減小，模態參數識別精度有減小的趨勢，并且部分高階模態受噪聲的干擾無法識別出來。設置頻率、阻尼比和振型的誤差Tf、Tξ和Tm分別為1%，5%和5%，系統的最大階數dmax=24，采用改進的穩態圖來進行虛假模態剔除。無噪聲和SNR=3 dB時的穩態圖見圖3。由圖3和表2可以看出，采用改進的穩態圖后模態識別精度有所提高，而且各階模態均能識別出來。

表2 基于ARMAV模型的模態識別結果

(a) 無噪聲

(b) SNR=30 dB

4.2 工程實例

水口電站工程位于中國福建省閩江干流中游，樞紐工程是以發電為主，兼有航運、過木等綜合利用的大型水利工程。水庫的正常蓄水位65.0 m，設計洪水位64.99 m。水電站樞紐是由大壩、電廠、船閘、升船機等建筑物組成。混凝土重力壩最大壩高101 m，壩頂全長783 m，壩頂高程74 m。該工程臨近臺灣海峽強震帶，為了監測強烈地震對大壩的影響，在大壩的19#壩段和25#壩段布置了強震儀進行監測，自由場測點設在右壩肩基巖上。19#壩段的強震儀分4個高程布置，具體布置見圖4和表3。

表3 19#壩段的強震儀

對各測量通道的4條強震記錄進行分析。每一條記錄的樣本數為4 000，采樣頻率fs=100 Hz，因此Niquist頻率fniquist=50 Hz。根據經驗和結構分析的結果，大壩前10階自振頻率在35 Hz以下，故截止頻率設定為fcutoff=35 Hz。在進行分析前應對監測數據進行處理。這些處理包括漂移校正、去趨勢項和濾波。設置通帶為[0, 35]，對監測數據進行帶通濾波。處理后SE1水平順河向的四條強震記錄如圖5所示。

(a) 地震記錄Ⅰ，2007-10-16，震級3.8

(b) 地震記錄Ⅱ，2008-3-6，震級4.1

(c) 地震記錄Ⅲ，2008-3-6，震級4.8

(d) 地震記錄Ⅳ，2009-3-23，震級3.8

為了對模態識別結果進行評價，我們建立了大壩19#壩段的有限元模型(見圖6)，采用有限元軟件MS.Marc進行了模態分析，水體的影響采用附加質量法來進行模擬。有限元計算中的壩體材料參數根據現場試驗獲得?；炷敛牧系膭訌椥阅Ａ俊硬此杀群兔芏确謩e為28.89 GPa，0.2和2 400 kg/m3。壩基巖石的動彈性模量和動泊松比分別為18.11 GPa和0.25。基礎采用無質量彈簧來進行模擬，水庫水體的影響，采用附加質量法來考慮。

圖6 19#壩段有限元模型

采用SSI方法、ARMAV模型法結合改進的穩態圖，根據實測動力響應識別的結構模態參數和有限元分析的結果的對比見表4，識別得到的模態振型的對比見圖7。從圖和表中可以看出，ARMAV模型法的模態識別精度和SSI方法相近。自振頻率和振型識別結果與FEM計算結果有一定的誤差，主要是由有限元模擬誤差(材料和邊界條件等方面)和計算識別誤差等因素造成的。

5 結 論

采用IV技術來求解ARMAV模型，可有效提高模型參數估計的精度，為在復雜地震激勵和運行環境下進行混凝土壩模態參數識別提供了基礎；將ANPSD與穩態圖向結合，可提高模態參數識別的精度。數值算例和工程實例表明，本文提出的基于強震觀測和ARMAV模型的水工混凝土結構模態參數識別方法具有較高的模態識別精度，結合采用穩態圖法可實現在性質復雜、噪聲干擾強的地震激勵下結構的模態參數識別。由于大壩強震觀測在水利工程中愈加受到重視，進一步研究基于強震觀測的結構模態識別方法，為結構的健康監測和抗震分析提供基礎，具有重要的理論意義和工程應用價值。

表4 自振頻率識別結果對比

(a) 第一階振型

(b) 第二階振型

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Modal identification of concrete dams based on strong-motion records and an ARMAV model

CHENG Lin1,2, YANG Jie1, ZHENG Dongjian2, REN Jie1

(1. State Key Laboratory Base of Eco-hydraulic Engineering in Arid Area, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China;2. State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China)

It is a feasible way to study the dynamic properties of concrete hydraulic structures through modal identification using the vibration measurement of structures. In this paper, an auto-regressive moving average vector (ARMAV) model and stabilization diagram method was adopted to perform modal identification using the strong-motion observation of concrete dams. The vibration response time series were expressed by the ARMAV model at first, and the instrumental variable (IV) technique was adopted to improve estimation accuracy of unknown model coefficients. Then the relationship between the ARMAV model coefficient matrix and structural state space matrix was studied to provide theoretical basis for modal identification. The stabilization diagram was improved by the average normalized power spectrum density function, which integrated the modal information of all the measurement channels, to the determine system order and remove spurious modes. A numerical example and a practical engineering application were used to verify the accuracy, effectiveness and applicability of the proposed modal identification method based on strong-motion observation and the ARMAV model.

strong-motion observation; modal identification; auto-regressive moving average vector; instrumental variable; average normalized power spectrum density

國家自然科學基金項目(51409205)；博士后自然科學基金項目(2015M572656XB)；陜西省重點科技創新團隊(2013KCT-015)；水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室開放研究基金(2014491011)

2015-11-05 修改稿收到日期：2016-04-06

程琳 男，講師，1986年生

TV32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.035