磁流變半主動懸架的泰勒級數-LQG時滯補償控制方法

陳士安， 祖廣浩， 姚 明， 張曉娜

(1.浙江水利水電學院 機械與汽車工程學院，杭州 310018；2.江蘇大學 汽車與交通工程學院，江蘇 鎮江 212013)

磁流變半主動懸架的泰勒級數-LQG時滯補償控制方法

陳士安1,2， 祖廣浩2， 姚 明2， 張曉娜2

(1.浙江水利水電學院 機械與汽車工程學院，杭州 310018；2.江蘇大學 汽車與交通工程學院，江蘇 鎮江 212013)

提出一種泰勒級數-LQG控制方法進行磁流變半主動懸架時滯補償控制。該方法利用泰勒級數對LQG控制求取的理想控制力進行時滯補償，以使磁流變減振器的實際輸出力逼近理想半主動控制力。在解析直接結合泰勒級數的LQG控制不能正常工作原因的基礎上，提出了一種實用的泰勒級數-LQG控制設計方法，使得LQG控制結合泰勒級數之后LQR函數能夠順利運行。針對時滯較大時泰勒級數對控制的放大現象，并考慮到磁流變減振器性能和成本之間的平衡，以滿足99%的減振控制要求確定磁流變減振器庫倫阻尼力的幅值。以Smith Predictor-LQG(SLQG)控制方法為比較對象，通過仿真實例驗證了泰勒級數-LQG控制方法具有良好的磁流變半主動懸架時滯補償效果。

磁流變半主動懸架；時滯補償；LQG；泰勒級數

近年來，利用磁流變半主動懸架提高汽車乘坐舒適性和操縱穩定性的研究越來越多[1-4]。在磁流變半主動懸架系統中，時滯是無法避免的，這是因為在測量系統狀態、計算以及產生可控阻尼力等過程中都需要消耗一定的時間[5-7]。時滯對懸架控制系統有著很大影響，在設計過程中如果沒有考慮系統時滯，將會降低控制系統的性能甚至導致系統失穩[8-9]。

時滯控制是磁流變半主動懸架的核心技術之一，對磁流變半主動懸架的工作效果有著重要的影響。現有時滯控制方法主要包括史密斯預估補償控制[10]、PID控制[11]、大林控制[12]、泰勒級數展開法[13]等，每一種控制方法都有其自身的優點，也存在相應的不足。史密斯預估補償控制的技術比較成熟，但是其嚴重依賴模型的精確匹配。PID控制成本較低，有一定的自適應能力，但是控制精度不夠高且動態性能不好。大林控制的穩定性和魯棒性比較好，在模型失配時也能夠進行有效地控制，但是其振蕩過程較長。泰勒級數展開法是一種實用的時滯控制方法，它能夠根據系統當前狀態有效地預測未來狀態，但是在其應用過程中對控制量有時會存在放大現象。

線性二次型(Linear Quadratic Gaussian，LQG)控制是一種常見的最優控制，它具有很強的適用性，在沒有時滯的理想狀態下能使磁流變半主動懸架系統在名義工況下獲得最優的使用性能[14]。由于LQG控制具有嚴格的適用條件，以至于未見有將它與泰勒級數結合進行時滯補償的文獻。

在提出一種實用的泰勒級數-LQG時滯補償控制方法的基礎上，為解決泰勒級數導致庫倫阻尼力放大的問題，及平衡磁流變減振器的性能和成本，通過限定磁流變減振器庫倫阻尼力的幅值，來獲得較理想的磁流變半主動懸架時滯補償控制效果。

1 含時滯的磁流變半主動懸架模型

由于信號測量、處理與控制律計算帶來的時滯極小，因此本文只考慮磁流變減振器的響應時滯，考慮到四分之一車模型既比較簡潔，又能反應懸架的主要動力學特征，在研究中采用了四分之一車模型對含時滯的磁流變半主動懸架進行研究和分析，如圖1所示。

懸架的運動微分方程如下

(1)

(2)

式中：n0是空間參考頻率，取0.1；w是路面白噪聲信號；Gq(n0)是路面不平度系數；v是車速；f0是下截止頻率，等于0.011v。

圖1 1/4車二自由度模型

根據描述磁流變減振器的Bingham塑性模型和Lord公司生產的RD-1005-3汽車用磁流變減振器測試的示功圖擬合結果，不考慮時滯的磁流變減振器的數學模型為[15]

(3)

式中：F(t)磁流變器減振器t時刻的阻尼力；cs是黏滯阻尼系數；Δv是磁流變減振器活塞與缸體的相對運動速度；FMR是庫倫阻尼力；sgn()是符號函數；I為控制電流。

(4)

取系統狀態向量為

(5)

懸架系統的狀態方程為

(6)

式中

2 LQG直接結合泰勒級數在時滯補償中存在的問題

(7)

式中：Fi是LQG控制求取的理想主動控制力。

為了改善控制效果，在t時刻，利用一階泰勒級數結合傳統的LQG控制提前預測出t+τ時刻的主動控制力Fp，以此對系統時滯進行補償，當τ較小時，則有

(8)

式(7)采用補償措施后為

(9)

在半主動懸架控制設計時，先由控制器求取理想控制力信號，然后將理想控制力信號輸送至半主動動作器得到實際控制力。

新的泰勒級數-LQG控制器需要求取的控制是Fp而非Fi。

(10)

式中

懸架二次型性能指標J為[16]

(11)

根據參考文獻[17]，下列條件都得到滿足時，LQG控制器才能設計：

條件1 (A0,B0)是穩定的；

條件2R0>0且Q0-N0R0-1N0T≥0

校驗式(10)和(11)中的相關矩陣可以發現：條件1可以得到滿足，且Q0-N0R0-1N0T≥0，但R0=0，不滿足條件2。因此，為了成功設計出基于泰勒級數的LQG時滯補償控制器，必須對式(10)做適當的變換。

3 泰勒級數-LQG控制器設計

為滿足R0>0，將式(10)中的Fi進行如下變換

(12)

新的擴展狀態方程和二次型性能指標表示如下

(13)

(14)

式中

由于β?α>0，因此式(10)中變換前Fi的和變換后的βFi+αFp幾乎相等，從而基本不改變原系統的動力學特性。

此時，R1>0，式(13)和(14)滿足了LQR函數所有的工作條件。

泰勒級數-LQG控制原理如圖2所示。

圖2中的擴展方程為

(15)

式中

式(15)的作用是將泰勒級數與車輛狀態方程整合成擴展狀態方程來設計泰勒級數-LQG控制器。

圖2 泰勒級數-LQG控制系統框圖

泰勒級數-LQG控制器的輸出為

Fp=-K1X1

(16)

式中：K1是最優反饋增益矩陣，可以通過LQR方程求得

(K1,S1,E1)=LQR(A1,B1,Q1,N1,R1)

(17)

式中：S1是黎卡提方程解；E1為系統的特征值向量。

(18)

在利用泰勒級數-LQG控制器對磁流變半主動懸架進行時滯補償控制時，需要限定磁流變減振器庫倫阻尼力的幅值，原因有二：① 分析式(7)～(9)可知：當時滯很小的時，Fp基本上等于Fi；但當時滯較大時，Fp將會被明顯放大，這將會降低控制效果；② 磁流變減振器能夠產生的庫倫阻尼力的幅值越大，則其制造成本越高[18]，考慮到性能和制造成本之間的平衡，需要合理地限定庫倫阻尼力的幅值。

根據概率論知識，零均值正態分布的系統振動響應χ的概率分布可由其標準差σx確定。χ幅值的絕對值超過χ0=λσχ的概率為Pχ，它與界限值χ0和標準差σχ的比值λ之間的關系可以由正態分布的概率積分表得到，下面將其中有代表性的值列在表1上[19]。

此時，實際庫倫阻尼力的幅值滿足

(19)

式中：σFisa是理想庫倫阻尼力Fisa的標準差。

由表1可得λ取2.58。根據式(3)和(4)可以得到相應的電流的大小。

表1 正態分布情況下，λ和Pχ的關系

當然，在控制設計過程中，也可根據實際需要對該百分比進行調整，如98%、95%、90%等，對應的λ值可根據正態分布的概率積分表查得。

4 實例仿真

為了驗證本文所提出的泰勒級數-LQG控制方法的先進性，選取了Smith predictor-LQG(SLQG)控制、理想LQG控制(假設系統沒有時滯的LQG控制)、無措施LQG控制(沒有時滯補償措施的LQG控制)三種方法以及被動控制進行性能對比及分析。

本文采用數值仿真進行上述懸架性能對比及分析。研究所需具體懸架參數如表2所示。

圖3 SLQG控制系統框圖

表2 懸架參數

表2中，c0為被動懸架的被動阻尼值。該車的名義工況為在C級路面上以v=20 m/s的車速行駛，此時，Gq(n0)=256×10-6m2/m-1。

根據文獻[14]提供的LQG控制加權系數確定方法，可得δ1=53 775，δ2=4 108.8。

對LQG控制的理想半主動懸架(假設系統無時滯)進行仿真可得σFisa等于507.5 N。根據式(3)和(4)計算得出電流的大小滿足0≤I≤0.87 A。

考慮到磁流變減振器的時滯一般為25 ms左右[10, 20]。因此，研究中選擇了整個控制系統時滯為25 ms及30 ms兩種工況。

圖4 時滯為25 ms時控制力和時間的關系曲線

從圖4可以看出：未限定幅值的庫倫阻尼力F″MR與理想半主動控制力Fisa在幅值方面存在較大的偏差。限定庫倫阻尼力的幅值后，上述偏差明顯變小。

圖5 時滯為25 ms時庫倫阻尼力與控制電流和時間的關系曲線

圖6是時滯為25 ms時，無措施LQG控制、理想LQG控制、SLQG控制、泰勒級數-LQG控制的磁流變半主動懸架以及被動懸架的J-t曲線圖。

圖7是時滯為25 ms的情況下無措施LQG控制、SLQG控制、泰勒級數-LQG控制的磁流變半主動懸架以及被動懸架的PSD(a2)-頻率曲線圖。a2為簧載質量加速度，是汽車平順性最重要的評價指標，通常被用來評價乘坐舒適性，簧載質量加速度功率譜密度PSD(a2)對頻率求積分越小，說明乘坐舒適性越好。

圖6 時滯為25 ms時的J-t曲線

圖7 時滯為25 ms時的PSD(a2)-頻率曲線

從圖6可以看出：時滯為25 ms時，與被動控制相比，無措施LQG控制及SLQG控制可減小懸架二次型性能指標，但并不明顯，而泰勒級數-LQG的控制效果與理想LQG最為接近，這說明對提高懸架綜合性能，泰勒級數-LQG的控制效果優于無措施LQG控制及SLQG控制。

圖7表明：時滯為25 ms時，在5.6～14.8 Hz范圍內，泰勒級數-LQG控制對降低簧載質量加速度的效果略差于SLQG控制，但在懸架固有頻率1.599 5 Hz附近可明顯降低PSD(a2)的峰值。

J-t曲線體現了各個控制器的綜合性能，而懸架的綜合性能指標J考慮了如下三個因素：簧載質量加速度a2、懸架動撓度z2-z1以及輪胎動變形z1-q。表3給出了時滯為25 ms時上述三個基本要素的均方根值以及J值。RMS(a2)代表a2的均方根值，RMS(z1-q)為z1-q的均方根值，RMS(z2-z1)表示z2-z1的均方根值。

表3表明：在時滯為25 ms的情況下，將無措施LQG控制、SLQG控制以及泰勒級數-LQG控制的磁流變半主動懸架分別與被動懸架相比可以得到如下結果：上述三種控制方法在J值方面分別降低16.08%、19.27%、27.29%；在RMS(a2)方面分別降低21.12%、20.16%、22.25%；在RMS(z1-q)方面分別降低-27.50%、-15.00%、10.00%；可以分別降低RMS(z2-z1) -6.54%、-7.48%、0.93%。

表3 時滯為25 ms時各性能指標的仿真結果

圖8 時滯為30 ms時控制力和時間的關系曲線

圖9 時滯為30 ms時庫倫阻尼力與控制電流和時間的關系曲線

圖10是時滯為30 ms時，無措施LQG控制、理想LQG控制、SLQG控制、泰勒級數-LQG控制的磁流變半主動懸架以及被動懸架的J-t曲線圖。

圖10表明：時滯增至30 ms時，與被動懸架相比，無措施LQG和SLQG控制的懸架綜合性能惡化較為嚴重，其中，無措施LQG控制與被動懸架相比幾乎不具備優勢。而此時的泰勒級數-LQG控制的效果仍然明顯優于被動懸架、無措施LQG控制以及SLQG控制的磁流變半主動懸架，這說明即使在時滯較大的情況下，泰勒級數-LQG控制也具有良好的綜合性能。

圖10 時滯為30 ms時的J-t曲線

圖11是時滯為30 ms時，無措施LQG控制、SLQG控制、泰勒級數-LQG控制的磁流變半主動懸架以及被動懸架的PSD(a2)-頻率曲線圖。

由圖11可以看出：時滯等于30 ms時，SLQG控制在頻率為2 Hz左右時的PSD(a2)的峰值超過了被動懸架，這將嚴重降低乘坐舒適性；與時滯為25 ms的情況類似，在6～14.8 Hz頻率范圍內，泰勒級數-LQG控制下的乘坐舒適性略差于SLQG控制，但在懸架固有頻率附近能夠有效降低PSD(a2)的峰值。

圖11 時滯為30 ms時的PSD(a2)-頻率曲線

表4是時滯為30 ms時，無措施LQG控制、理想LQG控制、SLQG控制、泰勒級數-LQG控制的磁流變半主動懸架以及被動懸架的RMS(a2)、RMS(z1-q)、RMS(z2-z1)以及J值。

表4顯示：在時滯為30 ms的情況下，將無措施LQG控制、SLQG控制以及泰勒級數-LQG控制分別與被動控制相比可以得到如下結果：上述三種控制方法在J值方面分別降低1.93%、13.97%、20.29%；在RMS(a2)方面分別降低19.61%、18.30%、17.45%；在RMS(z1-q)方面分別降低-52.50%、-20%、7.5%；可以分別降低RMS(z2-z1) -8.41%、-11.21%、0.93%。

表4 時滯為30 ms時各性能指標的仿真結果

上述比較數據顯示：隨著時滯的增大，無措施LQG控制下的懸架綜合性能嚴重惡化。在時滯為30 ms時，雖然無措施LQG控制能夠提高19.61%的乘坐舒適性，但是相對于被動控制，無措施LQG控制下的RMS(z1-q)及RMS(z2-z1)都有明顯的增大，這分別會導致行駛安全性降低和撞擊限位概率增大。此外，無措施LQG控制下的J值僅降低1.93%。這表明：磁流變半主動懸架系統的時滯對控制效果有著極大的負面影響，因此在設計控制器的過程中需要對系統時滯進行控制。

總的來說，各個控制方法的效果隨著時滯的增大而變差。在25 ms和30 ms時滯情況下，相對于被動控制，SLQG控制能夠提高一定的綜合性能和乘坐舒適性。無措施LQG控制在時滯較大時，它的綜合性能將會劇烈下降。對于泰勒級數-LQG控制，即使在時滯較大的情況下，它同樣能夠獲得較好的綜合性能和乘坐舒適性。

5 結 論

針對含時滯的磁流變半主動懸架，首次提出了用于時滯補償的泰勒級數-LQG控制器。仿真結果表明泰勒級數-LQG控制可以有效地提高系統性能。

本文的主要貢獻有：

(1)提出了一種利用LQG控制結合泰勒級數用于時滯補償控制的想法，并給出兩者結合的具體方法；

(2)為了解決泰勒級數引起的庫倫阻尼力放大問題以及磁流變減振器性能和成本之間的平衡，提出了一種庫倫阻尼力幅值的確定方法。

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Taylor series-LQG control for time delay compensation of magneto-rheological semi-active suspension

CHEN Shi’an1,2, ZU Guanghao2, YAO Ming2, ZHANG Xiaona2

(1.School of Mechanical and Automotive Engineering, Zhejiang University of Water Resources and Electric Power, Hangzhou 310018, China; 2.School of Automotive and Traffic Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

A Taylor series-LQG approach for magneto-rheological semi-active suspension system was presented to compensate time delay. First, the reason for the failure of conventional combination Taylor series with LQG control to compensate time delay was uncovered by theoretical derivations and a new Taylor series-LQG control for time delay compensation was developed to satisfy LQR operating conditions. Second, considering Taylor series amplifying the control and balance between performance and cost of magneto-rheological damper, a strategy was presented to determine the range of the actual semi-active control force so as to satisfy 99% control demand. Finally, compared with Smith Predictor-LQG (SLQG) control, simulation results verify the proposed approach can obtain better control effect for time delay compensation of a magneto-rheological semi-active suspension system.

magneto-rheological semi-active suspension; time delay compensation; LQG; Taylor series

國家自然科學基金資助項目(51575239)

2015-11-30 修改稿收到日期：2016-03-28

陳士安 男，博士，教授，1973年生

U463.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.030