永磁同步電動機的有限時間自適應混沌控制

高俊山，施蘭蘭，鄧立為

(哈爾濱理工大學 自動化學院，哈爾濱 150080)

(*通信作者電子郵箱761523932@qq.com)

永磁同步電動機的有限時間自適應混沌控制

高俊山，施蘭蘭*，鄧立為

(哈爾濱理工大學 自動化學院，哈爾濱 150080)

(*通信作者電子郵箱761523932@qq.com)

針對永磁同步電動機(PMSM)的混沌吸引子現象以及研究中只能實現平衡狀態的周期點的混沌同步控制問題，提出了一種基于自動控制理論與有限時間控制原理的零誤差系統算法。首先，通過已建立的PMSM的數學模型，經過數學公式轉化得到PMSM各狀態變量與其預期設定值之間形成的誤差系統模型;然后，利用李雅譜諾夫穩定性理論，對所形成的誤差系統模型進行同步控制器與校正率的設計，并證明誤差系統在有限時間內快速地收斂至零點;最后，對誤差系統施加干擾量，對算法進行魯棒性分析。理論與仿真結果表明，所提出的算法能實現誤差系統到達零點后仍一直維持在零點的平衡狀態，有效地抑制PMSM系統中混沌吸引子現象的產生，靈活地調整PMSM的輸入輸出，在確保PMSM正常運轉的基礎上，PMSM系統對不定性參量與外部擾動量具有良好的魯棒特性。

永磁同步電動機；混沌吸引子；自適應控制；有限時間控制；李雅普諾夫理論

0 引言

從1963年美國氣象學家Lorenz[1]開始研究混沌現象至今，已有40多年的歷史，已成為理解和運用豐富的動力學的一種常見理念，它是一種對初始條件、參數變量、環境噪聲等因素相當敏感的非線性動態系統，基于系統的不確定性與敏感特性，對于混沌系統的同步控制，越來越多的研究者開始進行深入探討研究，將許多控制理論與技術應用于混沌控制中[2-4]，旨在消除系統非線性控制中出現的混沌現象。例如：文獻[5]中提出脈沖同步控制;文獻[6]中介紹H∞同步控制；文獻[7]中引入狀態觀測器實現同步控制；文獻[8]中運用線性矩陣不等式技術達到同步控制；文獻[9-10]中設計滑模控制器完成同步控制；文獻[10-11]中闡述反推式線性算法的同步控制；文獻[12-13]中說明了模糊邏輯的同步控制。同時，隨著Pecora等[14]對混沌現象的開創性工作的進行，混沌控制的研究理論與技術被廣泛應用于醫藥科學、生物工程、圖像加密、通信安全、信息處理等高科技領域，對現今科技的發展具有深遠影響。

其中，在電力電子領域，Kuroe等[15]在1989年將混沌控制引入電動機驅動系統中，指出永磁同步電動機(Permanent Magnet Synchronous Motor， PMSM)中混沌現象弊端：電機參量在一定范圍內變化時，引起電機轉矩隨機變化、轉速大范圍內間歇震蕩、不規則的電流噪聲、控制性能不穩定等后果，影響了PMSM系統運行的平穩性。現代工業進程中自動化的發展使電動機系統的混沌控制獲得越來越多的關注，尤其是PMSM以其效率高、體積小、噪聲小、溫升低、節能等優勢，特別是在目前國家“節能減排”的大環境下，具有極為廣闊的應用前景。例如：在電動汽車驅動系統領域，1996年，豐田汽車公司的電動車RAV4就采用了東京電機公司的插入式PMSM作為驅動電機；在電梯領域，國內寧渡欣達公司、山東百斯特電梯有限公司都加大了對PMSM同步無齒輪拽引機的研制；通力公司開發了EcoDiso永磁盤式無齒拽引機；在船舶電力推進領域，西門子開發出了以PMSM為系統方案合作伙伴項目的推進系統。PMSM是高新技術產業強大的技術基礎，與電力電子技術和微電子控制技術結合，創造出新型的性能優異的機電一體化產品和裝備，是21世紀電機發展方向的風向標，已經有不少學者對永磁同步電動機進行了深入的研究。例如：文獻[16-17]介紹了PMSM的分岔與混沌現象。許多控制理論與技術也被運用在永磁同步電動機的混沌控制中，例如：利用時間延遲反饋技術實現的電動同步機控制[18]，利用自適應反推式原理實現的電動機同步控制[19]，利用確定的線性化微分幾何理論實現的電動機同步控制[20]，利用李雅諾夫瞬態指數控制算法實現的電動機同步控制[21]，以及利用最優輸出反饋H∞技術實現的電動機同步控制[22]等。這些控制方法都實現了PMSM的同步控制，但只能保證平衡點的同步控制，仍存在不能控制非平衡點的缺陷。

以往的研究方法大多考慮不確定參數和外部擾動量的影響，因為在電動機的實際運轉過程中，不可避免地存在一些不確定參數和外部擾動量；此外，由于多數控制是使電動機達到平衡點或周期點，不能根據工程需求靈活地調整PMSM的輸入輸出。針對以上兩個缺點，本文以同步誤差理論與李雅普諾夫理論為基礎，設計了一種新形式的自適應控制器，實現帶有不確定參數與外部擾動量的永磁同步電動機的平衡狀態控制；運用有限時間原理，證明PMSM在有限時間內的收斂性與穩定性，保證永磁同步電動機在有限時間內快速地達到電動機的預期控制設定值；最后，通過Matlab軟件進行數值仿真來驗證所設計的自適應控制器的魯棒性與可行性。

1 PMSM的數學模型及問題闡述

經過轉換后的均勻氣隙的永磁同步電動機的數學模型如下：

(1)

系統(1)中id、iq、w是系統的狀態變量;id、iq分別表示定子電流在縱軸和正交軸上的分量電流;w表示電機的轉子角速度;ud、uq表示定子電壓在縱軸和正交軸上的分量電壓;TL表示負載的轉矩;γ、σ表示系統參量。

在實際的PMSM模型中，系統參量γ、σ具有不確定性，諸如分岔和混沌等現代非線性理論已經被應用在系統(1)中非線性動態性能的研究中，研究結果表明，系統參量γ、σ在一定范圍內變動，混沌現象出現在PMSM中，在文獻[16]中詳細地介紹了分岔的尺度標準，一般情況下，考慮PMSM沒有外力的情形，此時可以看作PMSM是空載運行一段時間后突然斷電，各項外部輸入為零，即ud=uq=TL=0，系統模型變為：

(2)

系統(2)出現混沌現象，此時令γ=20,σ=5.46,id(0)=5 A,iq(0)=1 A,w(0)=-1 rad/s，其仿真的三維混沌吸引子如圖1所示。

圖1 PMSM的奇異吸引子

從圖1中可知，混沌吸引子的存在會嚴重影響PMSM的正常運轉，甚至導致傳動系統崩潰，本文旨在用有效靈活的方法抑制PMSM的混沌現象。

設id0、iq0、w0分別為系統(2)的id、iq、w的預期控制設定值，令e1=id-id0，e2=iq-iq0，e3=w-w0，得到相應的誤差系統：

(3)

其中:a=-iq0-w0id0+γw0;u1、u2、u3分別是誤差系統(3)的控制輸入。

引理3[25]設定一個動態非線性系統：

如果存在三個連續可微函數V:[0,∞)×D→R，α(·),β(·)，0<λ<1,M?D，且一個恒大于零的函數k:[0,∞]→R+滿足：

V(t,0)=0;t∈[0,∞)

α(‖x‖)≤V(t,x)≤β(‖x‖));t∈[0,∞),x∈M

定義1 基于電磁同步電動機系統(2)構造的電磁同步電動機誤差系統(3)，在自適應控制器和自適應矯正律的作用下，如果存在一個常數T(T≥0)，誤差系統(3)達到狀態：

(4)

且當t≥T時，‖e(t)‖=0，則電磁同步電動機誤差系統(3)在有限時間T或大于等于T內可以實現混沌控制，即保證電磁同步電動機系統(2)在T或大于等于T內達到電動機的預期控制設定值并維持平衡狀態下正常運轉，實現電動機的混沌控制。

2 自適應控制的實現

為確保PMSM能在有限時間內快速收斂到電動機的預期控制設定值，并維持平衡狀態下系統(2)的正常運轉，最終抑制PMSM中的混沌現象，本文設計自適應控制器的數學模型如下所示：

(5)

γ、σ是電磁同步電動機中的可操作參量，故設計校正律的數學模型如下所示：

(6)

證明 選取正定的李雅普諾夫函數：

(7)

對式(7)求導可得：

(8)

將式(3)代入式(8)可得：

(9)

對式(9)進行化簡：

(10)

將自適應控制器(5)代入式(10)可得：

(11)

(12)

將自適應校正律(6)代入式(12)可得：

(13)

對式(13)進行化簡：

(14)

由式(14)可得：

V(t)≤V(0)

(15)

即:

(16)

設定初始狀態，e1(0)=e2(0)=e3(0)=0，式(16)化簡可得：

(17)

設定下列式子：

(18)

由式(12)可知：

(19)

假定：

(20)

由分析可知，當e3滿足條件

根據Jensen引理可知：

(21)

由式(16)化簡式(18)：

(22)

根據引理可知，對于任意

所以當初始條件滿足：

根據引理3可知，對于t=0時的誤差系統(3)是局部一致有限時間穩定，進而再根據引理4可知，誤差系統(3)在控制輸入(5)在作用下，(e1(0),e2(0),e3(0))=(0,0,0)時是全局有限時間自適應穩定。

3 仿真結果與分析

為驗證本文所提出的控制方法的有效性，通過Matlab軟件中的Simulink模塊搭建PMSM模型如圖2所示，對該同步控制方法進行數值仿真。當設定γ=20,σ=5.46時，永磁同步電動機出現混沌現象，令初始條件為id(0)=5 A,iq(0)=1 A,w(0)=-1 rad/s，PMSM的各狀態變量隨時間變化的狀態如圖3所示。

圖2 PMSM的Simulink模型

圖3 PMSM的狀態變量

圖4 控制輸入的時間狀態

圖5 誤差狀態變量e1=id-id0

圖6 誤差狀態變量e2=iq-iq0

圖7 誤差狀態變量e3=w-w0

4 魯棒性

在一個閉環系統中，不可避免地會出現外部干擾，在外部干擾量的作用下，本文的同步控制方法同樣可以使PMSM在有限時間內快速地達到電動機的預期控制設定值，并維持在平衡狀態運轉?？紤]到外部干擾量，建立如下PMSM模型：

(23)

外部擾動量為：

(24)

證明

因為：

所以：

同理可知，PMSM在受到溫度、氣壓、白噪聲等外部擾量的影響下，用本文所提出的控制方法仍可以有效地在平衡狀態下穩定運轉，實現電動機的快速同步控制，保證了PMSM具有良好的魯棒性能。

5 結語

綜上所述，自適應控制器配合校正率的使用有效地抑制了PMSM中產生混沌吸引子的現象，強有力地保證了PMSM短時間內達到電動機的預期控制設定值，并在該設定值狀態下穩定正常運轉，對未知參數具有良好的動態響應，對外部干擾量引起的大幅度抖振具有良好的魯棒特性，最終實現帶有不確定參數與外部擾動量的PMSM同步控制的平衡狀態。

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This work is partially supported by Natural Science Foundation of Heilongjiang Province of China (F201307).

GAO Junshan, born in 1962, Ph.D., professor.His research interests include automatic control, chaos theory, computer control.

SHI Lanlan, born in 1991, M.S.candidate.Her research interests include chaos theory, automatic control.

DENG Liwei, born in 1983, Ph.D., lecturer.His research interests include chaos theory.

Finite-time adaptive chaos control for permanent magnet synchronous motor

GAO Junshan, SHI Lanlan*, DENG Liwei

(CollegeofAutomation,HarbinUniversityofScienceandTechnology,HarbinHeilongjiang150080,China)

Aiming at the issue that chaotic attractor exists in Permanent Magnet Synchronous Motor (PMSM) and chaotic synchronous control of PMSM cannot be realized except on the cycle of the equilibrium point, a kind of zero error system algorithm based on automatic control theory and finite time control principle was proposed.Firstly, the error system was established by mathematical model of PMSM and a mathematical formula between each state variable and its expected value in PMSM.Secondly, synchronous controller and correction rate were designed for the error system model and the conclusion that the error system could quickly converge to zero in finite time was proved by using Lyapunov’s stability criterion.Finally, interference was imposed on the error system and the robustness of the algorithm was analyzed.The theoretical analysis and simulation results show that the proposed algorithm can maitain in zero balance after reaching the zero point of the system, which can effectively restrain the chaotic attractor and adjust the input and output of PMSM flexibly; and the PMSM system has good robustness to the uncertainty parameter and external disturbance while ensuring the normal operation of PMSM.

Permanent Magnet Synchronous Motor (PMSM); chaotic attractor; adaptive control; finite-time control; Lyapunov theory

2016- 07- 25;

2016- 09- 08。 基金項目:黑龍江省自然科學基金資助項目(F201307)。

高俊山(1962—)，男，黑龍江哈爾濱人，教授，博士，主要研究方向:自動控制、混沌理論、計算機控制； 施蘭蘭(1991—)，女，河南濮陽人，碩士研究生，主要研究方向:混沌理論、自動控制； 鄧立為(1983—)，男，黑龍江哈爾濱人，講師，博士，主要研究方向:混沌理論。

1001- 9081(2017)02- 0597- 05

10.11772/j.issn.1001- 9081.2017.02.0597

TP273.2

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