讓學生真正理解圓的面積公式

許定山

【背景】

一位老師在“圓的面積”新授課的全課總結環節安排了學生質疑，其中有一位學生的發言引起了我的注意，她說：“既然圓的面積轉化成的是一個近似的長方形，那圓的面積公式為什么不寫成S≈πr2呢？”這位老師可能是因為快要下課了，也有可能是對這個問題沒有預設，不知怎么回答，老師說：“因為它是一個公式，所以必須用等號。”學生似懂非懂坐下了，很顯然這位老師的回答并不能讓學生信服。

學生為什么會產生這樣的疑問？看來學生并不認為他們學到的圓的面積公式是準確公式，這樣的認識到底是個別學生或者是個別班級，還是一個普遍現象，帶著這樣的思考，筆者先后對周邊學校20個班級的六年級學生進行了問卷調查，調查內容是這樣的：

把你認為正確的答案序號填在括號里，可以多選：

1.我們在學習圓的面積公式時，是把圓轉化成（ ）計算它的面積的。

A.近似的平行四邊形 B.平行四邊形

C.近似的長方形 D.長方形

2.圓的面積公式是（ ）。

A.S=πr2 B.S≈πr2 C.S>πr2 D.S<πr2

考慮到“圓的面積”是五年級的內容，六年級學生已經把這一知識擱在一邊一段時間了，對一些似是而非的答案可能判斷不準確，但學習“圓的面積”時已經形成的結論，也就是第一題的D答案和第二題的A答案不應有錯。于是，我在統計時只要第一題所選的答案中包含D，第二題的答案中包含A就算對。但統計結果第一題沒有選擇D，第二題沒有選擇A的學生相當普遍，幾乎所有班級這樣的學生都超過了50%，其中第一題沒有選擇D的竟然高達95%，很多學生選擇了C。為什么會選擇C呢？在與科任老師的交流中，我發現了這樣的教具或課件：

把最右邊的扇形平均分成兩半，把其中一半移到左邊。這樣就把一個近似的平行四邊形轉化成了近似的長方形，難怪有這么多的學生選擇了C。這樣的教學雖然便于學生看出長方形的長和寬，但學生沒法理解一個圓能通過無限分割真的拼成長方形。

【原因分析】

針對這樣的調查結果，在與多位老師的交流中，我們普遍感覺到當下的圓面積教學存在以下不足：

1.學生操作感知不夠，有很多學生只拼了16等份或32等份的圓，缺少從4等份到8等份再到16等份、32等份的完整過渡，學生觀察不全面，無法從中發現拼成的圖形逐步由近似平行四邊形向長方形過渡。

2.教學中過多地關注如何拼以及拼成后面積如何計算，也就是更注重公式的形成過程，而如何拼成一個真正的長方形筆墨不多。

3.推導過程只局限在平均分的份數越多，拼成的圖形就越接近于長方形，究竟能不能拼成長方形學生模棱兩可。

【改進措施】

我們有針對性地對圓面積教學進行了一些改進：

在教學中增加了4等份和8等份圓的操作，每操作完一種就把它拼成的形狀記錄在電腦上，并且每拼成一個圖形都讓學生說說像什么圖形，4等份時竟然有學生說不出像什么圖形，在拼32等份后老師安排了比較環節：

師：一開始4等份時你們為什么沒有發現拼成的是一個近似的平行四邊形？有的學生認為上下兩條邊太彎曲了，感覺一點也不像；有的學生認為就像一只烏龜，誰知道會是近似的平行四邊形。

師：隨著平均分的份數越來越多，拼成的圖形的變化趨勢是怎樣的？

學生：上下兩條邊不太彎曲了。

學生：不像烏龜了（笑）。

師：怎么就不像烏龜了呢？

學生：頭不翹了。

另一學生：傾斜得不厲害了。

老師對這名學生進行了表揚，老師問：要是再繼續分下去，會怎樣？在學生說出一些答案后老師在屏幕上出示了64等份的近似平行四邊形。

師：你有什么感受？

生：我感覺都有一點像長方形了。（也有的學生爭執，認為還應該是近似的平行四邊形）

師：不管它是近似的平行四邊形還是長方形，你會大概的計算一下它的面積嗎？老師只給一個條件，原來的圓半徑是5厘米。（“大概”兩個字聲音特意強調）

學生嘗試計算，得出這個近似圖形面積的計算方法是πr2。

老師在圓的面積S和πr2之間加上約等號，面帶苦澀地說：圓的面積用這種方法計算只能得到一個大概的結果呀！

師：有沒有辦法找出求圓面積的準確公式？（停頓1分鐘多，有的學生在下面小聲議論）

學生議論一段時間后，有學生舉手說：我相信繼續不斷地分下去，上下兩條邊就不再彎曲了。

另一個學生連忙舉手：斜邊也不再傾斜了。

部分學生：那就變成了真正的長方形了。

老師在屏幕上展示長方形，指出：科學家正是這樣堅持不懈地分下去，最終發現圓是可以轉化成長方形的。

接著再讓學生自主討論長方形與圓的關系，得出圓的面積計算公式，老師親手把S和πr2之間的約等號改成等于號。

本節課上到這里離下課時間已經不多了，老師勉強帶領學生完成實際應用就下課了，似乎有些倉促，來不及鞏固了，顯得并不完美。但比起完整的推導過程，顯然得遠遠大于失，因為學生真正理解了圓的面積推導過程，學生第一次通過了無限分割的方法解決了問題。從另一個角度來看，我們的學生是千差萬別的，很多學生可能以后并沒有機會接觸數學極限的思想，沒有這樣的教學他們可能終生都認為圓的面積是一道近似公式。

參考文獻：

吳劍春，馬鳳枝.“圓的面積”設計及評析[J].小學教育科研論壇，2004（21）.

編輯 楊國蓉