一階時滯差分方程周期解的存在性

廣州大學數學與信息科學學院(510000) 范瑤穎 ●

一階時滯差分方程周期解的存在性

廣州大學數學與信息科學學院(510000) 范瑤穎 ●

本文運用臨界點理論中的山路引理，主要研究一階非線性時滯差分方程的非平凡周期解的存在性及多重性．

山路引理;時滯差分方程;周期解

一、引言及主要結果

考慮一階非線性時滯差分方程

其中f∈C(R，R)是奇函數，即對于任意的x∈R，f(－x)=－f(x)，(－1)s=－1，且0＜s＜1，δ＞0，T為給定的正整數．

自從2003年郭志明與庾建設首次應用臨界點理論研究差分方程周期解以來，應用臨界點理論研究差分方程周期解問題的相關文獻已有很多，如文獻［1］等．但是，應用臨界點理論來研究時滯差分方程周期解存在性的文獻卻不太多．據我們所知，目前關于這方面的文獻只有［2］，［3］，［4］．

受文獻［1］的啟發，可將方程(1．1)改寫為Δx(n+T) =－f(x(n))－δxs(n)．

本文的基本假設是:

(f1) 函數f∈C(R，R)是奇函數，即對任意的x∈R，f(－x)=－f(x)．

(f2) 對于任意的x≠O，xf(x)＞0．

(f5) 對于任意給定的常數ρ＞0，δ＞0，有(－1)s=－1且0＜s＜1．

思維品質是指個體在思維活動中智力特征的表現，也就是人與人之間的思維活動上表現的差異。培養學生用英語思維是英語教學重要目標，在教學的同時優化思維品質也是教學任務之一，但思維品質的培養不能一蹴而就的，需要教師創造性的設計多樣化的教學活動。開放性問題、智力游戲問題、探索性問題是別出心裁、創意新、情景實、思維價值高的一類新題型，它們具有開發智力、激活思維、增加創新能力的潛在功能。這類問題的出現，為學生創設了一個嶄新的英語情景。給學生以再發現、再創造的思維空間。為此，課堂教學中，教師的提問，學生的練習，都要設計編擬一些思維活、立意新、探索性強的問題，促使學生思維開放。

我們的主要結論是:

定理1．1 假設函數f滿足(f1)－(f5)，如果存在l∈Z(0，T－1)，使得μl+1＜a∞＜μl≤μ0＜a0或μl+1＜a0＜μl≤μ0＜a∞，則方程(1．1)至少存在一個非常數的4T+2周期解x，滿足x(n+2T+1)=－x(n)．

二、變分框架與引理

記E是由序列x組成的向量空間，

x(n+T)+x(n－T)－f(x(n))－δxs(n)=0 (2．1)的以4T+2為周期的周期解．反之，若是差分方程(2．1)的以4T+2為周期的周期解，則是 I的臨界點．

考慮到f是奇函數，由類似文獻［3］的討論可知，I的任一臨界點x滿足方程(1．1)，因此x是方程(1．1)的以4T+2為周期的周期解．反之，方程(1．1)的任意滿足x(n +2T+1)=－x(n)的周期解也是泛函I的臨界點．

文獻［5］給出了求算子A的特征值與特征向量的方法與結果．具體可參閱其文獻．

三、方程(1．1)周期解的存在性

引理3．1 假設f∈C(R，R)滿足(f3)，并且對于任意的k=0，1，…，T，λk≠a∞，則泛函I滿足(PS)條件．(此引理與文獻［3］中的引理3．1證明相類似，不再重復證明)

定理1．1的證明 首先，由條件(f2)可知，a0≥0，a∞≥0．

由0＜s＜1，以及Hlder不等式可知:

顯然可以取x∈Y，使‖x‖充分大，從而有－I(x)＜0，即山路引理條件(I2)被滿足．由山路引理可知，存在x∈X，使I'(x)=0，并且－I(x)=c≥a，這就意味著x是方程(1．1)的非常數4T+2周期解，定理1．1的證明完畢．

［1］Guo Z M，Yu J S．Multiplicity results for periodic solutions to delay differential equations via critical point theory［J］．J Differ Equ，2005，218:15－35

［2］郭麗芬，郭志明．一階超線性時滯差分方程周期解的存在性［J］．廣州大學學報，2014(02):19－23

［3］邢秋萍，王其如，郭志明．非線性時滯差分方程周期解的存在性［J］．應用泛函分析學報，2012，14(01):61－70

［4］郭志明，郭麗芬．高維次線性時滯差分方程周期解的存在性［J］．廣州大學學報，2014(03):7－12

［5］邢秋萍．非線性時滯差分方程周期解的臨界點方法［D］．中山大學碩士學位論文，2008

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