線性代數(shù)作為抽象數(shù)學(xué)引論

Nachtergaele+Bruno等

線性代數(shù)是大學(xué)的一門基礎(chǔ)課程，并且在數(shù)學(xué)的各個分支和其他自然科學(xué)、工程技術(shù)及社會科學(xué)中都起著工具性作用。對于某些具有一定的概念理解和數(shù)學(xué)計算能力而抽象推理訓(xùn)練不足的大學(xué)生，學(xué)習(xí)線性代數(shù)是彌補這種缺陷的適宜的機會。本書的目的是為這類大學(xué)生在計算與推理之間架設(shè)橋梁，通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)一步掌握邏輯論證技巧，以有利于學(xué)習(xí)其他抽象數(shù)學(xué)。本書以學(xué)生比較熟悉的線性方程組、復(fù)數(shù)計算和多項式因子分解等知識為起點，逐步深入地引進(jìn)有限維向量空間線性映射的抽象概念，涵蓋對角化，特征空間，行列式和譜理論等重要結(jié)果，是一本簡明的線性代數(shù)的引論性教材。

全書由11章和4個附錄組成：1.什么是線性代數(shù)？通過中學(xué)課程中的線性方程組和二次方程的求解直觀地顯示線性代數(shù)的某些特征；2.復(fù)數(shù)引論，是對中學(xué)代數(shù)有關(guān)知識的復(fù)習(xí)，也是課程展開的預(yù)備；3.代數(shù)學(xué)基本定理和多項式因式分解。也是復(fù)習(xí)性材料，其中涉及連續(xù)函數(shù)的極值性質(zhì)；4.向量空間。在前面的背景材料的基礎(chǔ)上并應(yīng)用圖解引進(jìn)向量空間的概念和基本性質(zhì)，指出引進(jìn)向量空間本質(zhì)上是為了敘述和解決線性代數(shù)問題；5.跨度和基地，建立空間維數(shù)概念和基本結(jié)果；6.線性映射。以第1章線性方程組為背景引進(jìn)線性映射概念和有關(guān)性質(zhì)，以及線性映射的矩陣，指出刻畫線性方程組的解是線性代數(shù)的目的之一；7.特征值和特征向量。這是線性代數(shù)的最重要的概念之一，著重討論了2維情形；8.置換和方陣的行列式。給出行列式概念、基本性質(zhì)以及通過余因子展開的計算公式；9.內(nèi)積空間。引進(jìn)向量空間的抽象定義，給出內(nèi)積空間的重要性質(zhì)，包括Gram Schmidt正交化；10.基變換。給出有限維內(nèi)積空間的基變換公式；11.正規(guī)線性映射的譜理論。研究有限維內(nèi)積空間的上線性算子的譜分解以及對于對角化問題的應(yīng)用，還討論了正算子、極分解和奇異值分解。每章后配備習(xí)題，分為計算題和證明題兩類。4個附錄主要是關(guān)于矩陣的補充材料，以及關(guān)于集合論和抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)的概要。

本書可作為我國理工科大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考書，特別適宜初學(xué)者閱讀。

朱堯辰，研究員

（中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所）