高考函數復習，你關注教材了嗎？
——揪出導數高考題之“源”

重慶市長壩中學(408529) 重慶市武隆中學(408500)

龍 明● 吳 軍●

高考函數復習，你關注教材了嗎？
——揪出導數高考題之“源”

重慶市長壩中學(408529) 重慶市武隆中學(408500)

龍 明● 吳 軍●

在強調命題改革的今天，通過改編、創新等手段來賦予課本例、習題新的生命，這已成為高考命題的一種新走向．近幾年高考試題的命制越來越新穎多變，尤其對導數的考查，形式多樣，但萬變不離其宗，大多數高考題都能在課本中找到其原型，所以我們在復習備考的過程中要注意對課本例、習題的訓練，把握其實質，掌握其規律，規范其步驟，做到“胸中有本”．

那么這些高考試題是采用課本中哪些題目作為原型題呢？又是如何變化得到的呢？結合高考試題，對有關導數的考題追根溯源，對其常見考點進行提煉，對其解法進行探討，以期對高考第一輪復習有所啟示．

一、胸有成竹，按圖索驥→判斷函數的圖象

例1 (2012年重慶)設函數f(x)在R上可導，其導函數為f′(x)，且函數f(x)在x=-2處取得極小值，則函數y=xf′(x)的圖象可能是( ).

思路啟迪 利用函數f(x)在x=-2處取得極小值，可判斷f′(x)在點x=-2附近的左側與右側時的符號，從而可得正確的選項．

解析 由函數f(x)在x=-2處取得極小值，可知在點x=-2附近的左側有f′(x)<0，從而xf′(x)>0，排除B、D；在點x=-2附近的右側有f′(x)>0，從而xf′(x)<0，排除A，應選C.

追根溯源 此題來源于課本人教A版選修2-2第32頁習題1.3A組第4題：如圖所示是導函數y=f′(x)的圖象，在標記的點中，在哪一點處

(1)導函數y=f′(x)有極大值？

(2)導函數y=f′(x)有極小值？

(3)函數y=f(x)有極大值？

(4)函數y=f(x)有極小值？

解此題的關鍵是：首先明確導函數y=f′(x)的極值與函數y=f(x)的極值的區別；其次判斷導函數y=f′(x)的極大值，只需看導函數圖象的“峰”處，判斷y=f′(x)的極小值，只需看導函數圖象的“谷”處；最后，判斷函數y=f(x)的極值，只需看導函數圖象與x軸的交點，并判斷在這些交點左右導函數的符號．

高考試題只是把課本原題中的結論變更成條件，并把原條件中導函數的圖象變為結論“判斷y=xf′(x)的圖象”．把課本中判斷極值問題變為利用導數判斷函數的圖象，重點考查考生的“看圖說話”能力和應用能力．求解此類高考題的關鍵是：利用函數的極值得出導數的符號，從而判斷函數的圖象，常通過“數形結合”來判斷函數圖象的形狀．

二、循序漸進，有法可依→求切線方程

例2 (2012年廣東)曲線y=x3-x+3在點(1,3)處的切線方程為____．

思路啟迪 先求函數y=x3-x+3在x=1處的切線的斜率，再利用點斜式求其切線方程．

解 因為y=x3-x+3，所以y′=3x2-1，所以y′|x=1=3-1=2，所以函數y=x3-x+3在x=1處的切線的斜率為2.由點斜式方程，得所求的切線方程為y-3=2(x-1)，即y=2x+1.

追根溯源 該題的原型是課本湘教版選修2-2第17頁練習第2題：求曲線x3-y=0在點(2,8)處的切線的方程．顯然要求切線方程，已知過一點，只需求出函數y=x3在x=2處的切線的斜率，然后利用點斜式方程即可求出其切線方程．

高考試題只是把課本原題中的條件“x3-y=0”變為“y=x3-x+3”，把點坐標“(2,8)”變為“(1,3)”，結論不變．導數的幾何意義把函數的導數與曲線的切線聯系在一起，曲線f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=(x-x0)f′(x0)，其中f′(x0)表示曲線f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率．求曲線的切線方程應當先設切點的坐標，再根據切點坐標的“一拖三”(切點與斜率相關、切點在切線上、切點在曲線上)來求切線方程．當試題中涉及切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點坐標等問題時，可利用導數的概念及其幾何意義迅速獲解．

三、化整為零，各個擊破→求函數的極值(極值點)

例3 (2012年江蘇)若函數y=f(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數y=f(x)的極值點．已知a，b是實數，1和-1是函數f(x)=x3+ax2+bx的兩個極值點．

(1)求a和b的值；(2)設函數g(x)的導函數g′(x)=f(x)+2，求g(x)的極值點．

高考試題只是把課本原題中的三次函數變式成含有參數的三次函數及導函數為三次函數，考查考生的雙向思維，既會利用給定極值點求參數的值，又會利用導函數求其極值點．求函數極值點的關鍵是：利用方程f′(x)=0的根，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，然后依表格內容得其結論．表格的使用，使極值點兩邊的符號一目了然，便于求極值點．

求函數f(x)極值點的步驟簡記為：求f′(x)→方程f′(x)=0的根→列表格→得結論．已知函數的極值點求參數值的關鍵：函數在極值點處的導數等于零．但易忽視對求出的參數值進行檢驗，要檢驗在極大值點左右兩側的導函數的符號是否為“左正右負”，在極小值點左右兩側的導函數的符號是否為“左負右正”，若不滿足，則所求的參數值不合題意，應舍去．

四、明修棧道，暗渡陳倉→求函數的最值

例4 (2012年重慶)已知函數f(x)=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c-16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[-3,3]上的最小值．

思路啟迪 (1)由f′(2)=0，f(2)=c-16，可得到關于a，b的方程組，即可求出a，b的值．(2)先利用f(x)有極大值28，求出參數c的值，再求方程f′(x)=0的根(注意根的取值范圍為[-3,3])及其所對應的函數值，與f(-3)，f(3)進行比較，其中最小的一個就是所求的最小值．

解 (1)因f(x)=ax3+bx+c，故f′(x)=3ax2+b.

(2)由(1)，知f(x)=x3-12x+c，所以f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)．令f′(x)=0，得x1=-2，x2=2.當x∈(-∞，-2)時，f′(x)>0，故f(x)在(-∞，-2]上為增函數；當x∈(-2,2)時，f′(x)<0，故f(x)在[-2,2]上為減函數；當x∈(2，+∞)時，f′(x)>0，故f(x)在[2，+∞)上為增函數．由此可知f(x)在x1=-2處取得極大值f(-2)=16+c，f(x)在x2=2處取得極小值f(2)=c-16.因為f(x)有極大值28，所以16+c=28，所以c=12.此時f(-3)=9+c=21，f(3)=-9+c=3，f(2)=c-16=-4，所以f(x)在[-3,3]上的最小值為-4.

追根溯源 該題的原型是課本人教A版選修2-2第32頁習題1.3A組第6題(2)：求函數f(x)=x3-12x在[-3,3]上的最大值與最小值．顯然要求函數f(x)的最大值與最小值，先求f′(x)，然后求方程f′(x)=0的根，并求出根所對應的函數值，與f(-3)，f(3)進行比較，其中最大的一個就是所求的最大值，最小的一個就是所求的最小值．

高考試題只是把課本原題中的三次函數f(x)=x3-12x，x∈[-3,3]變式成含有參數的三次函數f(x)=x3-12x+c，x∈[-3,3]，并融入函數的極值，考查考生處理綜合性問題的能力．求函數f(x)在閉區間上的最值的步驟簡記為：求f′(x)→求方程f′(x)=0的根→求出根所對應的函數值與端點的函數值→比較大小得結論．

從以上4例可窺，課本素材是高考考題編擬的藍本，是“題根”“母題”．只要我們把握課本例、習題，靈活變換，深入思考，提煉這些問題的基本解法，那么不論高考函數題的構思多么新穎，我們都能做到以不變應萬變，迅速抓住導數這個“綱”，函數考題就能迎刃而解.

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