似曾相識于2016江蘇高考

江蘇省如皋市第一中學(226500)

陳山云●

似曾相識于2016江蘇高考

江蘇省如皋市第一中學(226500)

陳山云●

2016年江蘇高考數學理科試卷第18題考查了直線和圓的位置關系，圓與圓的位置關系，考查解不等式，并將圓與向量相結合.利用存在與任意(恒成立)問題相結合,從而有效地解決了實際問題.其實，早在2014年江蘇省宿遷市第一次模擬考試中就出現過類似思想方法的試題，接下來，筆者就這道題說開去.

試題 (2014年江蘇省宿遷市一模試卷)已知△ABC的三個頂點A(-1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圓為圓H．

(1)若直線l過點C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；

(2)對于線段BH上的任意一點P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，求圓C的半徑r的取值范圍．

考點 直線和圓的方程的應用．

解析 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．(1)略.下面主要來看(2)的解法．

法1 解 因為對于線段BH上的任意一點P，以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點,所以有PM=MN.過點P作圓C的切線，設切點為T,根據切割線定理:PT2=PM×PN=MN×2MN=2MN2.

M,N是圓C上不同的兩點，故有MN∈(0,2R].如此，問題轉化為：

接下來，如果消去d,得PC2-R2=2MN2(同上)；但若消去MN,則9R2-PC2=8d2.

同理，因為對線段BH上的任意一點P，以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，即：

法3 設P的坐標，可得M的坐標，代入圓的方程，然后利用兩圓有公共點，由此可求得⊙C的半徑R的取值范圍．

解 直線BH的方程為3x+y-3=0，P為線段BH上任意一點，故可設P(x,3-3x)，設M(x0,y0)，因M為PN中點，則有N(2x0-x,2y0+3x-3).

∵P為線段BH上任意一點，且以C為圓心的圓上都存在不同的兩點M，N，使得點M是線段PN的中點，則圓C與BH無交點，

接下來，我們來看看2016江蘇高考理科數學第18題

題目 如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2，4)．

(1)設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；

(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA，求直線l的方程；

考點 圓的一般方程；直線與圓的位置關系；解不等式．

解析 題(1)(2)略，題(3)與上題類似，請看以下解法：

點評 這里利用了圓上任意兩個不同點之間的距離不大于圓的直徑這一結論.與上一題法(1)類似.

法2 仿照以上方法(3)，此題亦可作如下處理：

這兩道題都考查了直線與圓的位置關系，都涉及到存在與恒成立問題，借助于解不等式，利用函數的辦法具有一定的普適性.當然，對于2016年的這道高考題，以上解法1還是有一定的巧妙性的，通過向量等式的變形，結果便一目了然.正所謂“變則通”，在我們的學習中，亦是如此，教材是我們教學的第一個起點，對教材的進一步理解和挖掘是教學的又一個起點，多一個起點，就多了一種選擇與思考，這樣我們解決實際問題的能力也就越來越強.

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