極值點偏移條件試題的命題背景及解題方法

福建省泉州實驗中學(362000) 福建省泉州第五中學(362000)

崔紅光● 楊蒼洲●

極值點偏移條件試題的命題背景及解題方法

福建省泉州實驗中學(362000) 福建省泉州第五中學(362000)

崔紅光● 楊蒼洲●

近年以極值點偏移圖象特征為背景的題目時常會出現在試題的壓軸題位置，筆者歸納總結了極點偏移條件及處理方法.

一、極值點偏移滿足的條件及相應結論

結論一 若定義域為集合M的函數f(x)有且只有一個極小值點x0，當x,2x0-x∈M時，若f′(x)+f′(2x0-x)<0，則極值點左偏(如圖1) .若滿足f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，則有x1+x2>2x0.

證明 令f(x1)=f(x2)，因為x1≠x2，所以x1F(x0)=0，

所以f(x1)>f(2x0-x1).又因為f(x1)=f(x2)，所以f(x2)>f(2x0-x1).而2x0-x1>x0，x2>x0，f(x)在x0右側區間遞增，從而x2>2x0-x1，即x1+x2>2x0.

結論三 若定義域為集合M的函數f(x)有且只有一個極大值點x0，當x,2x0-x∈M時，若f′(x)+f′(2x0-x)>0，則極值點左偏(如圖三).若滿足f(x1)=f(x2)，且x1≠x2，則有x1+x2>2x0.

結論二、三、四的證明，可以仿照結論一進行證明.限于篇幅此處從略，留給有興趣的讀者進行探究.

二、以極值點偏移為背景的試題命制方法

f′(x)的零點左側的圖象比右側的圖象變化更快，則極值點左偏；反之f′(x)的零點左側的圖象比右側的圖象變化更慢，則極值點右偏.若導數圖象不易作出，再求二階導，通過二階導確定一階導的圖象變化情況，這種方法往往更快更實用.

有了上面這些結論，我們就可以設計題目了.如證明上述結論(2), 以定義域為集合M的函數f(x)只有一個左偏的極小值點x0為例，證明：x1+x2>2x0.我們可以這樣分析：要比較的是有關自變量的不等關系，我們比較大小的一個重要方法是利用函數單調性，進而想到可否將比較自變量大小利用函數單調性等價轉化成比較對應函數值的大小；要證x1+x2>2x0，只需證x2>2x0-x1，而x2>2x0-x1>x0，f(x)在x0右側區間遞增，即證f(x2)>f(2x0-x1)①.至此需證二元不等式，思想方法是二元化一元.因為f(x1)=f(x2)，原不等式化成f(x1)>f(2x0-x1)，易想到構造F(x)=f(x)-f(2x0-x)，x0由只有一個左偏的極小值點解析式特征，易證F′(x)=f′(x)+f′(2x0-x)<0，F(x)遞減，F(x1)>F(x0)=0，所以f(x1)>f(2x0-x1)

①式成立，故結論成立了.

三、以極值點偏移為背景的試題賞析及解題方法

例1 (2016全國乙卷21題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析 本題是極值點右偏類型.

(1)略；(2)f′(x)=(x-1)(ex+2a).由(1)得a>0,易得x=1是f(x)的極小值點，則x1<10，F(x)遞增，F(x1)

根據每個命題本身，往往這類題目還有其它方法，這里暫時不提及.

本題可做拓展，設置問題：若x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1x2<1.

綜上所述：x1x2<1，證畢.

分析 本題是極值點右偏類型.(1)略；(2)設x0為f(x)的極值點.

本題可做拓展，證明：x1x2

G632

B

1008-0333(2017)07-0003-02