四邊形中動點問題的幾種情況

安徽省太湖縣寺前初級中學(246400)

吉 興●

四邊形中動點問題的幾種情況

安徽省太湖縣寺前初級中學(246400)

吉 興●

本文針對四邊形中動點問題的不同情況，給出相應的求解方法，對學生學習具有指導意義.

動點；最值；形狀；函數

一、動點移動產生的最值問題

最值問題一直與動點有著千絲萬縷的關系，在四邊形中動點的引入為最值問題提供了良好的背景，此類題多以特殊的四邊形為主，我們要掌握四邊形的相關知識才能解答.學生在解決此類問題時要注意找出動點的特殊位置進行求解.

例1 如圖所示，四邊形ABCD是菱形，BD=6，AC=8.對角線AC上存在一動點P，AB、BC的中點分別為E、F，求PE+PF的最小值.

解析 這是典型的兩點在直線同側求線段和最小值的問題，學生應該對于此類問題的求解方法較為熟悉，就是將同側的點變為異側，然后根據三角形兩邊之和大于第三邊的性質判斷出只有三點在同一直線時和最小.故作F關于AC的對稱點F′，此點也為CD的中點，連接EF′，交AC于點P，此時EF′就是線段和的最小值.由于四邊形ABCD為菱形，所以存在EB平行且等于CF′.故四邊形EBCF′為平行四邊形，EF′=BC.由菱形對角線互相垂直可求出BC=5.故PE+PF最小值為5.

本題中不光是對于求最值問題方法的考察，對菱形性質的檢驗也體現的很到位.我們要對題目有充分的認識，看到題中所提到的圖形，我們就應該在腦海中浮現出該圖形的各種性質，這就需要學生對于知識反復記憶并使用.

二、由動點產生的動態圖形形狀判定

點的移動必然會帶來圖形形狀的變化，在初中數學平面幾何部分學到的特殊四邊形有可能在變化出現，出題者正是抓住了這點，經過反復推敲就出現了此類問題.學生要熟記特殊四邊形的證明方法才能正確解答.

例2 點O為如圖所示的△ABC中AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設點E、F分別為MN與∠ACB的平分線及∠ACB的外角平分線的交點.

(1)四邊形AECF為矩形時O點的位置，說明理由；

(2)四邊形AECF是正方形時點O的位置以及△ABC滿足的條件，說明理由.

解析 分析兩問，對于正方形的證明是建立在四邊形為矩形的基礎上的，我們只要證明出何時為矩形，就能使問題得以解決.由題中提到的角平分線可知∠ECF=90°，故我們只需證明何時為平行四邊形就可以了.動點的好處在于點O可以出現在AC上的任意位置，平行四邊形的性質就是對角線互相平分.所以在證明出O為EF的中點后問題就得證了.由直線MN∥BC及角平分線可知，∠OEC=∠OCE，∠FCO=∠CFO，因此有EO=CO=OF.當O為AC中點時四邊形AECF為矩形.而在(2)問中，只需要討論△ABC應滿足的條件就可以.在滿足矩形的條件下要證明圖形為正方形，一種方法是證明鄰邊相等，一種是對角線互相垂直.顯然在此題中證明角是很簡單的，即當∠ACB為直角時滿足對角線垂直.

此題中對于動點的討論更為深入，將幾何證明問題與動點的結合更加考驗學生的邏輯思維能力.在解決此類問題時我們可以運用逆向思維，先根據要證明的圖形的性質確定動點位置，再進行后續過程的證明.

三、與動點有關的函數關系

前面兩種情況介紹的都是更加注重于幾何圖形的證明，而此類問題將函數與平面幾何相結合著重考查的是學生的計算能力.這就需要學生將函數知識與幾何圖形聯系在一起，在增加出題多樣性的同時也檢驗了學生的綜合能力.

例3 如圖所示，有一四邊形OABC是矩形，線段BC上存在一動點D(不與端點B、C重合)，直線y=-x+b過點D與折線OAB相交于點E.點A、C的坐標分別為(3,0)，(0,1).記△ODE的面積為S，求S與b的函數關系式.

解析 題中已經很明確地給出點E在折線OAB上，相當于提醒我們情況有兩種，一種是E在OA上，另一種是E在AB上.針對第一種情況我們只需求出OE的長以及高即可，是較為簡單的.第二種情況，我們就不能再通過底乘以高來求了，因為求這兩個的過程繁瑣，計算量也很大.這時我們就可以利用矩形面積減掉幾個直角三角形的面積來求.先通過極限情況確定在不同直線上b的取值范圍，再按照上述思路求解.當直線過A點時，求出b=3/2.當直線過B點時，b=5/2.直線過C點時，b=1.如下面兩圖所示(1)當E在OA上時，即1

本題中以分類討論的思想為前提，結合三角形面積的計算以及范圍的選取進行完整的解答.數形結合思想的運用讓我們更好地對第二種情況進行求解.多種數學方法以及技巧的應用組成了解此題的要點，值得我們深入分析討論.

縱觀全文，三種不同情況的介紹也展示了四邊形中動點問題的多樣出題思路.學生在解決此類問題時必須要熟練掌握幾何證明、函數求解、圖形性質等多方面知識，運用邏輯思維能力將它們聯系在一起綜合運用，求出正確答案.

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