對(duì)計(jì)算山體極限高度的探討
——第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第12題的剖析

靳玉保

對(duì)計(jì)算山體極限高度的探討
——第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第12題的剖析

靳玉保

（焦作市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室，河南焦作 454000）

本文通過對(duì)第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第12題的分析，在考慮高度對(duì)重力加速度的影響下，山體極限高度的計(jì)算思路會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，計(jì)算結(jié)果也會(huì)有較大差異．

山體高度；重力加速度；物理競賽

2016年第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽落下了帷幕，試卷注重理論聯(lián)系實(shí)際，注重模型的建立．但就本試卷上的第12題，筆者認(rèn)為解法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，下面談?wù)勛约旱囊恍┛捶ǎ?/p>

原題．一固體星球可近似看作半徑為R（足夠大）的球形均勻的固體，構(gòu)成星球的物質(zhì)的密度為ρ，引力常量為G．

（1）考慮星球表面山體的高度．如果山高超出某一限度，山基便發(fā)生流動(dòng)（可認(rèn)為是山基部分物質(zhì)熔化的結(jié)果，相當(dāng)于超出山的最高限的那塊固體物質(zhì)從山頂移走了），從而使山的高度減低．山在這種情況下其高度的小幅減低可視為一小塊質(zhì)量的物質(zhì)從山頂移至山底．假設(shè)該小塊物質(zhì)重力勢(shì)能的減少與其全部熔化所需要的能量相當(dāng)，山體由同一種物質(zhì)構(gòu)成，該物質(zhì)的熔化熱為L，不考慮溫度升到熔點(diǎn)所需要能量，也不考慮壓強(qiáng)對(duì)固體熔化熱的影響．試估計(jì)由同一種物質(zhì)構(gòu)成的山體高度的上限．

（3）月亮是一個(gè)固體星球，其密度和半徑分別為3．34×103kg／m3和1．7×106m．假設(shè)月亮全由SiO2構(gòu)成，SiO2的熔化熱為2．4×105J／kg．已知G＝6．67×10－11N·m2／kg2．估計(jì)月球上的山體高度與月球半徑比值的上限．

此題能很好地考查學(xué)生的審題能力、建模能力，是一道難得的好題．解決此題的關(guān)鍵是突破第（1）問，第（2）、（3）是第（1）問導(dǎo)出結(jié)果的變形和代入數(shù)據(jù)．我們不妨先看一下參考答案．

原解析：（1）由于星球是均勻球體，且山體的高度h遠(yuǎn)小于球體的半徑R．按題模型有mghmax＝mL．

式中hmax是由同樣物質(zhì)構(gòu)成的山體高度上限，m是會(huì)熔化掉的那一小塊物質(zhì)的質(zhì)量．在星球表面由引力產(chǎn)生的加速度為，式中M是星體的質(zhì)量．

命題者在設(shè)計(jì)此題時(shí)，都是以星球半徑足夠大為模型進(jìn)行求解的．如果認(rèn)為星球半徑足夠大（即無限大），則山的高度可以忽略，重力加速度g也就不會(huì)隨山的高度而變化．然而筆者認(rèn)為，如果星球半徑足夠大，則星球半徑與山高就不具有可比性，這就與本題的第（2）問星球半徑最小是山高的10倍相矛盾．可見，星球?qū)ι襟w而言不能看作無限大．高度為的山體頂端與底端的重力加速度應(yīng)該有明顯的差別，山體高度對(duì)重力加速度的影響自然就不能忽略，因此解決此題的思路也必將發(fā)生變化．由于重力加速度隨著高度將發(fā)生變化，故重力勢(shì)能的表達(dá)式mgh將不能使用．我們只好使用天體的重力勢(shì)能表達(dá)式Ep＝－，式中r是物體到天體球心的距離，M是天體的質(zhì)量，m是物體的質(zhì)量，并取無限遠(yuǎn)處重力勢(shì)能為0．

鑒于以上分析，若考慮天體表面高度對(duì)重力加速度的影響，此題解法如下．

（1）由于星球是均勻球體，重力勢(shì)能的表達(dá)式為式中r是物體到天體球心的距離，按題模型有

式中hmax是由同樣物質(zhì)構(gòu)成的山體高度上限，m是會(huì)熔化掉的那一小塊物質(zhì)的質(zhì)量．

根據(jù)題設(shè)有

由（2）、（3）式得

故該星球上山體的高度滿足

（2）按題設(shè)要求，

由（4）、（6）式得

（3）將（5）式變形得

代入題給數(shù)據(jù)得

通過以上分析可以看出，筆者計(jì)算的山體最大高度是0．098倍的天體半徑，而原參考答案計(jì)算的山體最大高度是0．09倍的天體半徑．兩者計(jì)算結(jié)果相差將近10%，顯然是不能忽略的．那么為什么筆者計(jì)算的山體高度會(huì)更高呢？這是因?yàn)殡S著高度的增加，重力加速度g減小，同樣高度筆者計(jì)算的某物體重力勢(shì)能就比原參考答案計(jì)算的重力勢(shì)能要小，而要讓山基部分同等質(zhì)量的物質(zhì)熔化，在重力加速度g減小的情況下，只有增加山的高度才能使山頂物質(zhì)的重力勢(shì)能達(dá)到應(yīng)有的大小，從而使山基部分物質(zhì)熔化．

2016－09－04）