追根溯源 瑕不掩瑜
——2016年高考全國卷Ⅰ物理第35題賞析

楊培軍 王 鵬

追根溯源 瑕不掩瑜
——2016年高考全國卷Ⅰ物理第35題賞析

楊培軍1王 鵬2

（1．安徽省阜陽市教科所，安徽阜陽 236031；2．安徽省界首市界首中學，安徽阜陽 236500）

通過追根溯源，找出該高考題的出處及演變過程，分析了題目及官方答案存在的瑕疵及修改意見，并應用動量定理和變質量體系的運動方程兩種方法求解．

圓柱體模型；動量定理；變質量體系的運動方程

2016年高考全國卷Ⅰ物理第35（2）題是一道很出色的試題，內容如下．

例1．某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質量為M的卡通玩具穩定地懸停在空中．為計算方便起見，假設水柱從橫截面積為S的噴口持續以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變為零，在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g．求：

（1）噴泉單位時間內噴出的水的質量；

（2）玩具在空中懸停時，其底面相對于噴口的高度．

讀完該題后，會有教師覺得眼熟，確實在不少競賽輔導書中均能找到類似的題目．例如文獻［1］中有這樣一道題．

例2．如圖1所示，由噴泉中噴出的水柱，把一個重為W 的垃圾桶倒頂在空中．水以速率v0、恒定的質量增率（即單位時間噴出的質量）從地下射向空中．求垃圾桶可停留的最大高度．設水柱噴到桶底后以相同的速率反彈．

文獻［2］中也有一道類似的題目．

圖1

例3．由噴泉噴出的豎直水柱把一個質量為M的垃圾桶倒頂在空中，若水以恒定的速率v0從面積為S的小孔中噴出射向空中，在沖擊桶底后以原速率豎直濺下，如圖2所示，求垃圾桶停留的高度．

圖2

圖3

目前筆者發現的最早的類似題目來自文獻［3］．

例4．如圖3所示，由噴泉中噴出的水柱，把一個質量為m的垃圾桶倒頂在空中．水以恒定的速率v0從面積為S的小孔中噴出，射向空中，在沖擊垃圾桶桶底以后，有一半的水吸附在桶底，并順內壁流下，其速度可忽略，而另一半則以原速率豎直濺下．求垃圾桶停留的高度H．

這道題先是出現在大學普通物理學力學的課后習題中，然后成為競賽和自主招生的練習題，最后又演變成高考題．此題如此備受青睞，究其原因，可能是因為此題有鮮明的生活背景，容易引起學生的興趣；而且能考察學生多方面的知識和技能．下面以兩種方法求解．

1 解法1：動量定理結合圓柱體模型

我們先解例1．在噴泉出水口處截取很短的一段圓柱體水柱，其長度為Δl＝v0Δt，其質量為這是時間Δt內噴出的水的質量，除以時間即可得噴泉單位時間內噴出水的質量為

接下來求解第2問．水噴出之后只受重力，做豎直上拋運動，設其即將與玩具底板接觸時速度為v，水柱截面積為S′，由流體連續性方程得

并設該過程上升的高度為h．根據運動學公式得

我們緊貼玩具底板截取很短的一段圓柱體水柱，為了與第1問截取的水柱相區別，設這一水柱的質量為Δm′＝ρvΔt′S′，顯然這一水柱中的水會在時間Δt′內全部撞擊玩具底板．考慮該水柱與玩具底板的碰撞過程，以豎直向上為正方向，由動量定理得，

由于Δmg很小，可忽略，解得

我們也可以以第1問所截取的圓柱體水柱，當其將要與玩具底板碰撞時，由于水柱體積不變，有

很容易發現4道題的區別僅僅是水沖擊玩具底板或垃圾桶桶底之后運動情況有所不同，因此只要將例1的解題過程稍加改變，即可解出其余3題．對于例2，只需將（5），（6）式改為－Δmv－Δmv＝－FNΔT，FN＝W，即可得出．例3與例2幾乎一樣，結果為．例4的計算稍微麻煩一些，需將（5）式改為－FNΔt，可得

2 高考題和官方答案的不足之處

對于高考題例1，筆者覺得題目和官方答案都略有瑕疵．首先水柱上升過程會變粗，截面積變大，但是題目只告訴我們玩具底板面積略大于S，并且沒有配圖（其他3題均有圖），這難免會讓一些較真的學生思考：玩具底板面積會不會小于水柱的截面積？因此筆者覺得題目應當略加修改：配圖或者明確告訴學生玩具底板面積不小于水柱的截面積．而且噴泉把垃圾桶倒頂在空中并不難實現，也很容易想象出來，但是想把一個卡通玩具（底部是平面）穩定地頂在空中難度著實有些大，不太符合實際，因此筆者覺得這方面不如不改，還是垃圾桶好（其他3題都是垃圾桶）．對于官方解答，筆者覺得問題出在連續性方程（3）式該如何處理上．先看一下官方網站上的答案：

（1）設Δt時間內，從噴口噴出的水的體積為ΔV，質量為Δm，則

由（8）、（9）式得，單位時間內從噴口噴出的水的質量為

（2）設玩具懸停時其底面相對于噴口的高度為h，水從噴口噴出后到達玩具底面時的速度大小為v．對于Δt時間內噴出的水，由能量守恒得

在h高度處，Δt時間內噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動量變化量的大小為

設水對玩具的作用力的大小為F，根據動量定理有

由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得

聯立（10）～（14）式得

官方解答回避了連續性方程，似乎是為了降低難度，但是卻導致解答的嚴密性出了問題：（13）式成立的依據何在？時間為什么一定是Δt？根據前面的分析可以看出，（13）式的正確性還是要用連續性方程（3）式來解釋．所以對于這一題，連續性方程是無法回避的．不過這樣一來，此題就有超綱之嫌了，可在題目中明確告訴學生或者提示學生（例如設置一小問）注意連續性方程．

3 解法2：變質量體系的運動方程

變質量體系的運動方程在物理競賽中明確要求掌握，因此我們用它來求解上述4題．其形式如下：

（主體參與兩種或更多與外界質量交換），如圖4所示．上述4題均屬于第2種情況．該方程當然是由動量定理推導出來的，具體過程可參考力學教材，不再贅述．

圖4

在例1中，主體為卡通玩具，由于其靜止在半空中，因此（6）式中主體的速度v＝0．附體1為沖擊玩具的水，其速度u1＝v，即水流即將與玩具接觸時的速度，附體2為流失的水，其速度為

主體的質量變化率（增加）為單位時間內沖擊玩具的水的質量，由（7）式得于水沖擊玩具之后立即全部流失或者反彈，所以主體即玩具的質量不變，即m＝M，然后即可得出主體的質量變化率（減少）F為變質量體系所受的外力，在上述4題中均為重力，由于短時間內水的質量很小，重力忽略不計，因此外力等于玩具的重力，F＝Mg．Δm＝ρv0ΔtS＝Δm′＝ρvΔt′S′．

將上述分析結果代入（16）式得以豎直向上為正方向，化簡得ρv0vS＝Mg，解出速度v，代入（4）式即可求出結果．

例4對應的（18）式為

以下步驟從略．

4 意義和體會

本題來源于鮮活的生活實景，考查學生物理觀念中的物質觀念、運動觀念、能量觀念；在解答試題的過程中，考查了學生的模型構建、數理結合等科學思維的應用能力，同時也培養了學生的學以致用以及正確的科學價值觀．在全國多省自主命題的幾年里，動量守恒定律“一枝獨秀”，考了又考，動量定理幾乎很少涉及，而全國卷Ⅰ的第35題則告訴我們情況正在發生變化，因此該題對全國的考生有著重要意義，值得我們深入思考．該題同時也告訴我們，高考題的命制及解答既要注意嚴密性，還要符合實際情況．

1 程稼夫．中學奧林匹克競賽物理教程力學篇［M］．合肥：中國科學技術大學出版社，2002：127．

2 楊榕楠．更高更妙的物理高考高分與自主招生決勝篇［M］．杭州：浙江大學出版社，2013：114．

3 鄭永令，賈起民．力學［M］．上海：復旦大學出版社，1989：178．

4 普通高中課程標準實驗教科書物理選修3－1［M］．北京：．由人民教育出版社，2010．

2016－08－11）

本文系安徽省規劃辦立項課題“高中物理教學中數理結合的實踐研究”（課題批號：JG11152）的研究成果之一．