拓展教學思路，優化思維品質
——以一道經典力學題的多種教學思路為例

陳志軍

拓展教學思路，優化思維品質
——以一道經典力學題的多種教學思路為例

陳志軍

（安徽省績溪中學，安徽宣城 245300）

對一道關于均質鏈條平衡的經典力學問題，提出利用數列和極限、分割與積累、虛功原理、積分、三力交匯原理、定軸轉動物體的平衡6種分析思路與方法，并利用質心運動定律和巴普斯定理對鏈條的質心求解進行了分析研究，以拓展學生的分析思路，優化學生的思維品質．

均質鏈條；分析思路；思維品質

在中學物理教學中，有意識地安排多角度分析問題的訓練，啟發和引導學生展開聯想、進行思考，努力挖掘問題中豐富的內涵，從不同的角度、不同的思路，用不同的方法多方位地去分析、解決問題，充分調動學生思維的積極性，在多思和多解中領悟真諦，可以有效培養學生的想象力、思維能力和創造能力，鍛煉學生思維的靈活性，優化思維品質．本文結合一道經典力學問題的多種分析思路談問題分析思路的拓展和思維品質的優化．光滑圓柱面放置在水平面上，柱面上放置一線密度為λ的光滑均質鐵鏈，其一端固定在柱面頂端A，另一端B恰與水平面相切，試求鐵鏈A端所受的拉力．

圖1

1 利用數列和極限

本題由于鏈條彎曲重心位置難以確定，直接用平衡條件或力矩平衡不易求解，考慮到鏈條的質量分布均勻，可以引導學生嘗試用微元法，將鏈條無限分割，再通過極限和數列求和等數學知識進行處理．

原題．如圖1所示，一

個半徑為R的

采用微元法，從A點開始將鐵鏈均勻分為n個微元，n→∞，如圖2所示，每一段微元對應的圓心角，則每一段微元長Δl＝RΔθ＝，質量，任取第i段微元受力分析如圖1所示，角度θi＝i·Δθ，該微元處于靜止狀態，沿切線方向根據平衡條件有

拓展到整個鏈條可以得到

利用三角函數數列an＝sin（nθ）前n項之和

則

2 利用分割與積累

分割與積累的思想起源于生產實踐，為研究自然界中普遍存在的宏觀問題提供了極其重要的思維方法，在物理學中對突破變量研究的困難、物質結構的認識、建立科學的度量體系、提供設計實驗的依據、升華對微觀世界的認識提供了重要的研究方法，也是中學物理教學中分析問題和解決問題的一種基本方法，分割與積累思想方法的應用可有效促進學生解題思路的發散和思維品質的提高．同樣本題由于鏈條重心位置難以確定、平衡條件或力矩平衡不易求解等因素，可以引導學生將鏈條無限分割，考查分割以后，每一段拉力在宏觀上的積累效應．

圖3

如圖3，在鏈條上傾角為θ處取微元Δl，該微元所受重力為Δmg＝λΔlg，該微元受力分析如圖所示，微元Δl受到的拉力與微元中點的切線方向夾角，該微元處于平

由于微元的選取是任意的，任一微元受到的沿切線方向向上的拉力都比沿切線方向向下的拉力大ΔT，按照對整個鏈條分割后的積累效應，A點的拉力應等于每個微元沿切線方向的拉力之差ΔT的總和，即

式中∑Δlcosθ表示所有微元在豎直方向上的投影距離之和，由圖可知總的投影距離為R，所以

3 利用虛功原理

虛功原理是拉格朗日提出來用于研究一般質點系平衡的普遍原理，是靜力學的普適定理．虛功是力在虛位移上所做的功，由于物體是處于平衡態，位移是假想的，不是真實的位移，因此虛功也是假想的，不是真實的功，虛功的應用往往先取微元，以功能原理為基本物理規律求解物理問題的方法，在力學中用得比較普遍，用于處理平衡問題時尤為有效，往往使過程變得比較簡單．在教學中正確引導學生運用它，能抓住習題教學的主要內容，突出重點，使學生高效掌握知識內容、拓展思維方法和提高推理能力．

圖4

如圖4所示，假設在A點的作用力TA非常緩慢地將鏈條拉走一段無限小的位移 Δx，Δx→0，該位移為虛位移，A點的作用力TA所做的功為虛功．由于支持力不做功，根據功能原理，拉力TA所做的功就等于鏈條重力勢能的增加，重力勢能的增加可以等效為處于鏈條B端長度為Δx的鏈條移動到A端重力勢能的增加，長度為Δx的鏈條上升的高度為R，其余部分的重力勢能保持不變，因此有

由此解得TA＝λgR．

4 利用積分思想方法

定積分是函數在區間上的積分和的極限，其本質是把函數圖像無限細分，再累加起來，也是微元法應用的體現，與前述極限、分割與積累的本質是相同的．積分雖然在高中不做要求，但積分思想貫穿于整個高中物理，積分思想的運用可以豐富學生處理問題的手段，拓展學生的思維能力．

鏈條放在光滑圓柱面上處于靜止狀態，其各部分兩側的張力不同，需要該部分重力的分力來平衡，由于鏈條的質量是連續分布的，求解A處的拉力時，可以選取鏈條上的一小段來分析其受力，列出動力學方程，采用積分的方法求解．

在鏈條上傾角為θ處取微元，該微元對應的圓心角為dθ，微元所受重力為（dm）g＝λ（dl）g＝λ（R· dθ）g，平衡時受力如圖5所示，該微元沿切線方向根據牛頓定律有dT＝T（θ＋dθ）－T（θ）＝（dm）gcosθ＝λ（R· dθ）gcosθ，兩邊積分得

5 利用三力交匯原理

對整個鏈條受力分析，可知該鏈條僅受到3個力，分別是重力、支持力和A點的拉力，根據3力交匯原理，如果知道了該鏈條的質心位置，就可以利用平衡條件等方法確定A點的拉力，問題就轉化為求鏈條的質心位置，雖然鏈條彎曲重心位置難以確定，但確定質心、另辟蹊徑尋找解決問題的辦法，可以極大地豐富和鍛煉學生的思維和創造力．考慮到鏈條的質量分布均勻，鏈條的質心位置的求解可以運用微元法結合質心運動定律求解，也可以運用巴普斯定理求解．

5．1 質心位置的確定

圖6

5．1．1 利用質心運動定律如圖6所示，現假設有一張角為θ，線密度為λ的均質圓環形鏈條，半徑為R．如果該鏈條以角速度ω繞圖示豎直軸勻速轉動，在圓環形鏈條上取一段微元，其對應的圓心角為Δθ，質量為Δm＝λRΔθ，由于該微元隨鏈條一起做勻速圓周運動，其兩端由于轉動增加的張力的合力提供向心力，根據牛頓定律有

T·Δθ＝ Δmω2R ＝（λRΔθ）ω2R，即T＝λω2R2，該力是鏈條內由于轉動引起的張力增量，由于這一微元是任意選取，所以鏈條內任意位置由于轉動引起的張力增量均為T．

圖7

由對稱性可知，該均質鏈條的質心一定在過圓心O，且在鏈條兩端對稱的軸線上，假設質心在對稱軸上的C點，質心到O點的距離為xC，對整個環線受力分析，如圖7所示，由于轉動引起的張力增量為T，在指向圓周運動圓心的方向，由質心運動定律有

將T＝λω2R2代入上式，可解得

圖8

5．1．2 利用巴普斯定理

巴普斯定理表述為：一條質量分布均勻的平面曲線，其上各點沿垂直于曲線平面方向運動，在空間掃過一曲面，則此曲面面積等于質心在運動中所經路程與曲線長度的乘積．巴普斯定理的介紹和應用可以有效拓展學生的知識面、解題能力、學科綜合能力、空間思維能力和學習品質．

如圖8所示，假設本題中的鏈條以OA為軸旋轉一周，該鏈條在空間轉動掃過的曲面為一個半徑為R的半球面，仍然假設質心到O點的距離為xc，則質心運動軌跡為一半徑為的圓，根據巴普斯定理有

5．2 利用三力交匯原理求拉力

如圖8所示，鏈條質心位于C點，對整個鏈條受力分析，鏈條受到重力、支持力和A點的拉力，并且3力交匯于一點H，這3個力組成的矢量三角形與圖形中△OEH相似，有解得

6 利用定軸轉動物體的平衡條件

前面已經通過質心運動定律或巴普斯定理求出了鏈條的質心位置，質心位于C點，質心到O點的距離受力分析仍然如圖8所示，該鏈條處于平衡狀態，但不是質點的平衡，可以看做是繞固定軸O的轉動平衡．支持力垂直接觸面，必然通過轉軸O，因此支持力相對轉軸的力矩為0，重力力矩的效果是使鏈條順時針轉動，而A點拉力力矩的效果是使鏈條逆時針轉動．根據定軸轉動物體的平衡條件（作用在物體上各力對轉軸的力矩代數和等于0）知重力相對轉軸的力矩等于拉力TA相對轉軸的力矩，故

對均質鏈條在光滑圓柱面上平衡這一經典力學問題的分析，在習題教學中，有意識地拓展分析的思路與方法，不局限于某一種方法，舉一反三，在教學中拓展、引申如質心運動定律和巴普斯定理等重要物理規律和方法輔助分析，可高效拓展學生的分析思維，激發學生學習的積極性，優化創造性思維品質，提高綜合運用知識的能力．

2016－10－10）