基于報童模型的汽車租賃企業(yè)最優(yōu)汽車訂購和服務定價策略

楊璐++經(jīng)有國

[摘要]為了提高汽車租賃企業(yè)的效益，增強其競爭力，制定一個有效的汽車訂購和服務定價策略成為汽車租賃業(yè)的重點研究問題。文章利用經(jīng)典報童模型，假設市場對汽車租賃的隨機需求是符合加性原理的，并且汽車租賃需求和租賃價格存在單調(diào)線性遞減關(guān)系，建立了汽車租賃企業(yè)的聯(lián)合訂購和定價決策模型。當汽車租賃企業(yè)的汽車訂購量和服務定價滿足最優(yōu)策略時，企業(yè)的總利潤達到最大化。最后，通過算例分析驗證了模型的有效性和可靠性。

[關(guān)鍵詞]報童模型；汽車租賃；最優(yōu)訂購；服務定價

[DOI]1013939/jcnkizgsc201704074

1引言

在我國，汽車租賃業(yè)作為“朝陽產(chǎn)業(yè)”，近年來得到了快速發(fā)展，具有很大的發(fā)展空間和潛力。汽車租賃公司負責汽車的購買、保養(yǎng)和修理工作，為企業(yè)和個人提供了很多便利，這種模式越來越受到人們青睞。目前，我國已經(jīng)擁有近500家汽車租賃企業(yè)，但是大多規(guī)模較小，市場份額也很少，具有較弱的風險抵御能力，并且尚未在全國鋪開廣泛的經(jīng)營網(wǎng)絡。因此，我國的汽車租賃業(yè)在很多方面還有待完善。為提高我國汽車租賃企業(yè)的效益，制定一個最優(yōu)的汽車訂購和服務定價策略顯得尤為重要，可以減少庫存成本和缺貨損失，同時增加期望銷售，最終獲得最大利潤。

本文從全新的視角，將報童模型應用到汽車服務領(lǐng)域，研究了在不確定需求下汽車租賃企業(yè)的聯(lián)合最優(yōu)訂購和服務定價策略，來減少企業(yè)的缺貨損失和剩余庫存成本，來實現(xiàn)企業(yè)利潤的最大化。

2問題描述與基本假設

一家汽車租賃企業(yè)一次性訂購一定數(shù)量的汽車，來提供租賃服務。然后將汽車租賃給個人和企業(yè)消費者，從中收取一定的租賃費用作為收益，每輛汽車每天的租賃價格為p元。汽車在租賃服務過程中，存在維護費用和服務成本，以及燃油和汽車損耗等費用。每輛汽車可以使用n年，平均每年使用m天。在汽車使用壽命結(jié)束后，直接報廢掉，不考慮殘值。本文把汽車訂購量和服務價格作為決策變量，利用報童模型，來研究汽車租賃企業(yè)的最優(yōu)汽車訂購和服務定價策略。

假設1：年需求函數(shù)是加性的，D（p，ε）=d（p）+ε，其中ε是一個隨機變量，假設其分布函數(shù)為F（ε），密度函數(shù)為f（ε）。并且確定性需求d（p）和汽車租賃價格p存在線性單調(diào)遞減關(guān)系，即d（p）=a-bp，a和b為大于零的常數(shù)。

假設2：每輛汽車的平均使用壽命周期為n年，平均每年可租用m天。

假設3：由于現(xiàn)實中存在通貨膨脹，因此考慮現(xiàn)金折現(xiàn)，假設每年的現(xiàn)金折現(xiàn)率相等。

隨機變量ε代表一年內(nèi)汽車租賃的不確定需求，期望用μ表示，即E[ε]=μ；p是單位汽車每天的租賃價格；s是單位汽車每天的缺貨懲罰，即單位機會成本；q是汽車租賃企業(yè)的新車訂購量；c是單位新車的購買價格；w是單位汽車的終身維護費用；e是單位汽車租賃的服務成本和燃油及汽車損耗等費用；r代表每年的折現(xiàn)率；π表示汽車租賃企業(yè)每年的期望收益；為汽車租賃企業(yè)n年的總利潤。

3模型建立與求解

我們用S（q）來表示汽車租賃企業(yè)的年期望銷售，它為每年汽車租賃企業(yè)可提供的租賃量與市場需求的極小值，即S（q）=E[min（mq，D）]。因為汽車租賃企業(yè)總共訂購q輛汽車，平均每輛汽車每年可租賃m天，所以企業(yè)可提供的年租賃量為mq。當市場需求D大于汽車租賃企業(yè)所能提供的租賃量mq時，期望銷售為∫+∞mq-d（p）mqf（x）dx；當市場需求D小于汽車租賃企業(yè)所能提供的租賃量mq時，期望銷售為∫mq-d（p）0[d（p）+x]f（x）dx。因此，兩種情況合二為一，得到企業(yè)的年期望銷售S（q）如式（1）所示。

由于汽車租賃企業(yè)在訂購汽車時并不知道市場的汽車租賃需求，因此當市場對汽車的租賃需求大于汽車租賃企業(yè)能提供的汽車訂購量時，就會出現(xiàn)缺貨損失，帶來一定的機會成本，我們用L（q）表示汽車租賃企業(yè)的缺貨損失，如式（2）所示。

汽車在租賃過程中，會產(chǎn)生一定的汽車租賃管理費用、能耗費用，同時市場需求未知時會產(chǎn)生缺貨損失，我們用π表示汽車租賃企業(yè)每年的期望租賃收益，為租賃總收入減去租賃管理費用、能耗費用和期望銷售損失的差額，如式（3）所示：則汽車租賃企業(yè)的n年期望總利潤為企業(yè)n年的期望租賃收益總和減去購買成本和維護費用的差額，如式（4）所示。

=ni=1πi-（c+w）q（4）

因為現(xiàn)實中存在一定的通貨膨脹貨幣貶值問題，所以需要考慮現(xiàn)金折現(xiàn)問題。我們假設汽車租賃企業(yè)每年的期望收益相等，并且現(xiàn)金折現(xiàn)率也相等，折現(xiàn)率為r。因此π2=π11+r，π3=π21+r， …， πn=πn-11+r，形成等比數(shù)列。第一年的期望收益為π，即π=π1，代入公式（4），化簡后得到企業(yè)的總利潤函數(shù)如式（5）所示。

=（r+1）n-1r（r+1）n-1π-（c+w）q（5）

然后將（3）式代入（5）式，化簡得到最終的企業(yè)總利潤函數(shù)如（6）式所示。=（r+1）n-1r（r+1）n-1{（p+s-e）[mq-∫mq-d（p）0F（x）dx]-s[d（p）+μ]}-（c+w）q（6）

價格p和訂購量q為汽車租賃企業(yè)總利潤函數(shù)的決策變量，對總利潤函數(shù)（6）式求關(guān)于p和q的一階偏導數(shù)，得到（7）式和（8）式。

p=[（r+1）n-1][bs+mq-∫bp-a+mq0F（x）dx-bF（bp-a+mq）（p+s-e）]（r+1）n-1r（7）

q=[m-mF（bp-a+mq）][（r+1）n-1]（p+s-e）（r+1）n-1r-w-c（8）

根據(jù)海塞矩陣和二元函數(shù)凹凸性的判別原理，

令A=2p2=-[（r+1）n-1]（p+s-e）b2f（bp-a+mq）+2bF（bp-a+mq）r（r+1）n-1

B=2pq=-[（r+1）n-1][（p+s-e）bmf（bp-a+mq）+mF（bp-a+mq）-m]r（r+1）n-1

C=2q2=-[（r+1）n-1]（p+s-e）m2f（bp-a+mq）r（r+1）n-1

則AC-B2=σ3σ4m2σ1[2bσ1（p+s-e）-（σ2-1）2]r2

其中，σ1=f（bp-a+mq）， σ2=F（bp-a+mq）

σ3=（r+1）2-2n， σ4=[（r+1）n-1]2。

命題1：當滿足2（x）f（x）<2b（p+s-e）時，利潤函數(shù)有唯一極大值，企業(yè)有唯一最優(yōu)訂購和定價策略。

證明：由2（x）f（x）<2b（p+s-e）得，AC-B2>0。又因為A<0，所以是關(guān)于p和q的二元凹函數(shù)，因此有唯一極大值，企業(yè)可得到唯一最優(yōu)訂購和定價決策。

然后分別令（7）式、（8）式等于零，即總利潤函數(shù)關(guān)于服務價格p和訂購量q的一階偏導分別等于零，可得到企業(yè)的最優(yōu)訂購量和服務價格，此時企業(yè)的總利潤達到最大化，得到企業(yè)的最優(yōu)決策。

4算例分析

下面將進一步通過數(shù)值分析來驗證以上所提出模型的有效性：

有一家汽車租賃企業(yè)一次性訂購一定數(shù)量的汽車，來提供汽車租賃服務，從中獲取利潤。假設每輛汽車的平均使用壽命周期n 為10年，平均每年可使用天數(shù)m為300天。單位汽車每天的服務成本和燃油損耗費用e為20元，單位汽車每天的缺貨成本s為10元。平均每輛新車的購買成本c是8萬元，單位汽車的終身維護費用w是2萬元。同時考慮通貨膨脹，假設每年的折現(xiàn)率r為3%。并且隨機需求在（50000，100000）上服從均勻分布，確定性需求d（p）和價格p之間滿足加性關(guān)系：d（p）=100000-170p。

將上述數(shù)據(jù)同時代入（7）式和（8）式，令總利潤函數(shù)關(guān)于服務價格p和訂購量q的一階偏導分別等于零，得到汽車租賃企業(yè)的最優(yōu)訂購量q為277輛，最優(yōu)服務價格p為671元/輛·天，然后根據(jù)企業(yè)的總利潤函數(shù)式（6），得到此時企業(yè)的最大利潤為4539013萬元，是假定條件下企業(yè)的最優(yōu)決策。

下面我們用MATLAB軟件進行仿真模擬，驗證最優(yōu)模型的合理性。我們觀察當其他參數(shù)不變，訂購量q和服務價格p在最優(yōu)決策周圍變動時，企業(yè)總利潤的變動。其他參數(shù)值不變，訂購量q取250～400，服務價格p取550～700分別對應總利潤的值如三維立體圖所示。

如下圖所示，企業(yè)的總利潤值在訂購量q取277，服務價格p取671時達到最高點，此時的結(jié)果正是模型得到的最優(yōu)決策，企業(yè)的利潤達到最大化。如果企業(yè)追求高利潤，一味提高服務價格，會導致市場需求降低，從而總收益減少；如果企業(yè)追求高汽車租賃量，選擇降低服務價格，同樣會導致總收益的減少。只有選擇最優(yōu)汽車訂購和服務定價決策，平衡汽車訂購量和租賃價格的關(guān)系，才能使企業(yè)總收益達到最大化，促使企業(yè)在全球汽車租賃業(yè)的市場浪潮中立于不敗之地。

5結(jié)論

作為我國的“朝陽產(chǎn)業(yè)”，汽車租賃業(yè)有不同訂購量q和服務價格p下的利潤值

很大的發(fā)展空間和潛力。同時在很多方面還有待完善，因此制定一個最優(yōu)的汽車訂購和服務定價策略對于提高企業(yè)的經(jīng)濟效益顯得尤為重要。本文利用經(jīng)典報童模型，假設市場對汽車租賃的隨機需求是符合加性原理，并且汽車租賃需求和租賃價格存在線性單調(diào)遞減關(guān)系，建立了汽車租賃企業(yè)的聯(lián)合汽車訂購和定價決策模型。當企業(yè)的總利潤函數(shù)關(guān)于服務價格p和訂購量q的一階偏導分別等于零，可得到企業(yè)的最優(yōu)訂購量和服務價格，企業(yè)的總利潤達到最大化。

參考文獻：

[1] Pearson M AThe incorporation of target performance measures and constrained optimisation in the newsboy problem[J].Journal of the Operational Research Society，2000，51（6）：744-754

[2]Shore HA general solution for the newsboy model with random order size and possibly a cutoff transaction size[J].Journal of the Operational Research Society，2004，55（11）：1218-1228

[3]楊磊，王明征，李文立兩種帶有能力（Capacity）約束的報童風險模型最優(yōu)策略[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2008，28（4）：35-42

[4]周永務，劉哲睿，郭金森，等基于報童模型的過度自信零售商的訂貨決策與協(xié)調(diào)研究[J].運籌與管理，2012，21（3）：62-66

[5]Chen H，Zhang ZTechnical Note—Joint Inventory and Pricing Control with General Additive DemandOperations Research，2014，62（6）：1335-1343