試析導數在學習函數中的應用

郭冠驛

(湖南師大附中梅溪湖中學，湖南 郴州 423000)

試析導數在學習函數中的應用

郭冠驛

(湖南師大附中梅溪湖中學，湖南 郴州 423000)

導數是新課程改革之后增加的內容，它在高中的數學中作用是非常明顯和突出的，在高中的階段我們進行導數的學習，可以為我們解決函數的問題提供非常有利的一個工具和渠道，同時利用導數我們也可以解決函數中的最值問題，幫助我們更好地對函數的形態進行了解，同時掌握函數的思想，幫助我們發展自己的思維能力.

導數；函數；學習；應用

導數在對函數進行研究中的用途是很廣泛的，因為函數是對一個客觀世界的變化規律進行描述的非常重要的模型，因此我們在對函數進行研究的時候，要了解它的增減性增減的快慢情況以及最大值最小值的性質問題，而導數對于這些問題的解決是非常有效的.

1.求函數的單調性

如果利用導數來對函數的單調性進行研究，就必須要求學生會求不超過三次方的多項式函數中的單調區間，簡單點來說，可以歸納總結如下.如果函數在某個點的導數是比零大的，那么這個函數在這個點附近是單調遞增的，反之，這個函數在這個點附近就是單調遞減的.在這個研究的過程當中，要注意的是我們知道函數在這個點附近的增減情況，但是如果在整個區間當中函數的導數都是恒大于零或者恒小于零，那么函數在整個區間都是單調遞增或者單調遞減，如果函數在這個區間中出現一直都等于零的情況，那么就說明這個函數在這個區間上，是一個常數函數.我們對函數的單調性進行判斷有兩種常用方法，一種是直接利用函數單調性的定義來進行判斷，簡單點來說就是利用兩個點所對應的函數值的差與零之間的關系來進行判斷，但是這樣的判斷過程是比較繁瑣的，而利用導數的相關結論來對函數的單調性進行判斷，這種方法不僅迅速快捷，同時也更加容易讓同學們聯想到.

2.求函數的極值

對于可導函數來說，在某一個點的導數是零，是這個函數取得極值的一個必要的條件，這個條件是必不可少的.因為有的函數，它雖然在某一個點的導數等于0，但是不管它是在定義域大于零的區間還是在定義域小于零的區間，它的絕對值都恒大于0，它是一個單調遞增的函數.在這樣的情況下，這個點也不會成為這個函數的極值點.也就是說一個函數要在某一個點獲取極值，它的充分條件是這個函數在這個點的導數等于0，并且在這個點附近的兩側的導數值異號.

我們在對函數極值的點進行判斷的時候，一定要注意函數的極值點，它肯定是在區間內部的，因此這個區間的端點是不可能成為函數的極值點.如果一個函數在一個開區間內是單調函數，那么它在這個區間上就沒有極值.有些點不存在導數，但是它也有可能成為極值點，在這樣的情況下，結合具體的圖象來進行分析.在函數的定義域當中有可能會出現多個極大值點或者極小值點，并且極大值不一定要比極小值要大.我們在對可導函數在定義域內的極值進行討論的時候，如果這一個函數的導數所獲得的實根比較多，我們最好使用表格的形式，這樣才可以使得極值點一目了然，并且在討論的時候要注意分類討論的進行.

3.求函數的最大值或者最小值

對于函數來說，集中反映的是他在某一個點附近的局部性質，并不是它在整個定義域上的性質.在對實際問題進行解決或對函數的性質進行研究的時候，我們都會去關心函數在一個指定的區間上哪一個值是最大的，哪一個角色是最小的，由此誕生了函數的最大值或者最小值的問題.函數的最大值或者最小值是在函數的極大值或者極小值的基礎上發展所得到的.如果從函數的圖象上觀察，我們可以比較直觀地發現，如果一個函數在閉區間上的圖象本身是一條連續不斷的曲線，那么它在閉區間上肯定是有最大值或者最小值的.因此，我們在探討的時候只需要把這個函數的所有的極值點和端點的函數值進行比較，就可以從里面看出函數的最大值或者最小值.

4.生活中實際問題的應用

生活中，我們常常會遇到一些求利潤的最大值、如何使用材料最節省或者效率最高的問題，這些問題也是我們常說的優化性問題，也是最值問題.對這類問題進行解決有很強的現實意義.我們常常可以把這些問題轉換成數學中的函數問題，然后將其轉化成求函數的最值問題.在這樣的情況下，導數就是解決這類問題比較強有力的一個工具.

綜上所述，在對函數的增減性變化的快慢和最值的問題求解的時候，導數是一個非常有用的研究工具，我們在學習的時候要準確地對導數的知識進行合理地掌握，從而幫助我們更好地解決各種函數的問題.

[1]劉曉華，鄔堅耀.導數在研究函數中的應用[J].數學教學通訊，2015(26)：34-36.

[責任編輯：楊惠民]

2017-07-01

郭冠驛( 2000.07-)， 男，湖南師大附中梅溪湖中學在校學生.

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1008-0333(2017)28-0017-01