試分析“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

崔世輪

(陜西省榆林市綏德中學(xué)，陜西 榆林 718000)

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試分析“構(gòu)造法”在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

崔世輪

(陜西省榆林市綏德中學(xué)，陜西 榆林 718000)

在運(yùn)用構(gòu)造法的解題過程中，學(xué)生其實(shí)主要就是要實(shí)現(xiàn)“未知量”與“已知量”之間的轉(zhuǎn)化，然后獲取更多的有利于解題的條件，從而更為快速地解決難題.因而教師在介紹“構(gòu)造法”時，會著重突出它的核心思想就是——轉(zhuǎn)化相關(guān)條件，只有構(gòu)造出與原問題相關(guān)的輔助問題，才能探索出解題的奧妙，進(jìn)而逐步發(fā)現(xiàn)構(gòu)造法解題的優(yōu)勢，久而久之學(xué)生就會將此種解題方法的思想牢記于心，自然也就為自己解題的正確率又增設(shè)了一道屏障.本文主要從三個反面分析了在高中數(shù)學(xué)解題中如何巧妙運(yùn)用“構(gòu)造法”的方法達(dá)成目的，并結(jié)合典型的教學(xué)案例呼吁高中數(shù)學(xué)教師不能忽略這一重要解題思想.

構(gòu)造法；高中數(shù)學(xué)；解題

全新的課程教育改革對高中生的學(xué)習(xí)狀態(tài)提出了明確的要求：基于一定量的數(shù)學(xué)題之上，學(xué)生要學(xué)會從另一個角度思考并解決問題.這一明令的潛在要求就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，高中生需要掌握轉(zhuǎn)化思維的解題能力，將一個問題的共通性質(zhì)串聯(lián)起來，這樣更有利于解題的全面性與規(guī)范性.出于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣的目標(biāo)，構(gòu)造法恰好能夠較好地應(yīng)對這一問題.因為數(shù)學(xué)題目原先一定是枯燥的，因為它缺乏一定的問題情境，在進(jìn)行一番構(gòu)造之后，學(xué)生可以列出相應(yīng)的函數(shù)方程或不等式，或者畫出對應(yīng)的圖形，而后才能在此基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)活動，這一過程非常考驗學(xué)生的觀察能力、分析能力及創(chuàng)造能力，與現(xiàn)代的素質(zhì)教育的要求完全吻合.

一、依據(jù)已知條件構(gòu)造相關(guān)函數(shù)

簡而言之，“構(gòu)造法”就是指根據(jù)題目中的已知條件或結(jié)論，再結(jié)合其特有的性質(zhì)進(jìn)而構(gòu)造出滿足已知條件的數(shù)學(xué)模型.在學(xué)習(xí)《解不等式》這一內(nèi)容時，學(xué)生通常會選擇直接法來解題，但是直接法解題的過程又來得很繁瑣，中間也易導(dǎo)致錯誤，所以很多學(xué)生在解多元不等式時總是無法靜下心來，導(dǎo)致錯誤率激增.自從“構(gòu)造法”創(chuàng)造出來，數(shù)學(xué)教師將其運(yùn)用到例題講解中之后，學(xué)生的正確率明顯有了上升的趨勢.因為“不等式”問題通常建立在函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)之上，因此除卻直接證明不等式的成立，還可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法證明其單調(diào)性，然后通過畫圖來解釋結(jié)論的正確性.在《不等式》問題中，構(gòu)造法的突出效果就是簡潔明了，具有較大的靈活性與技巧性，但同時構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)也是具有一定難度的，因為不等式的右邊一定要最簡便，正常情況下為1，只有這樣才能夠通過畫圖來判斷不等式最終是否成立.

例如，已知x,y,z均屬于區(qū)間(0，1)，求證:x(1-y)+y(1-z)+x(1-x)<1.這是一道含有三個變元的不等式證明題，如果高中生采用直接證明法的話會出現(xiàn)解到一半無法繼續(xù)的問題，因此我們可以采取構(gòu)造法解決問題.

這是一道含有三個變元的不等式證明題，如果高中生采用直接證明法的話會出現(xiàn)解到一半無法繼續(xù)的問題，因此可以采取構(gòu)造法解決問題.

先構(gòu)造一個函數(shù):f(x)= (y+z-1)x+(yz-y-z+1).然后針對這一函數(shù)進(jìn)行分析，給出以下證明過程:因為y,z∈(0，1)，所以f(0)=yz-y-z+1=(1-y)(1-z)>0恒成立，f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz>0也恒成立，而易得f(x)的圖象就是一條線段.所以綜上所述，f(x)>0恒成立，從而不等式恒成立，整理可得出結(jié)論：x(1-y)+y(1-z)+x(1-x)<1.

二、根據(jù)等量關(guān)系構(gòu)造方程式

對于比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一定會運(yùn)用到自變量與因變量這一概念，因此也可以根據(jù)需要結(jié)合有利的條件進(jìn)行思路框架的設(shè)計.無論是“一元二次方程”還是“二元二次方程”都是為解決未知量的值服務(wù)的，所以在遇到具有定量關(guān)系式的題目時，我們可以利用構(gòu)造方程式的方法來解決問題.

例如，在學(xué)習(xí)《一元二次方程》的相關(guān)內(nèi)容時，商店里的某商品進(jìn)價為50元，要是按50元的單價出售可以賣出400臺，每漲1元，銷售量就會少10臺，問價格為多少時可獲利潤6000元？遇到這種題目時，如果不借助設(shè)變量的話是很難解決的.因此我們可以設(shè)利潤為W，設(shè)漲價x元，可以列出一下方程式:W=(50+x)(400-10x)-50(400-10x)=x(400-10x)=-10x2+400x=6000.由此可得一個關(guān)于x的方程，然后求得x即可.

三、按照題目要求構(gòu)造平面圖形

數(shù)學(xué)解題思想中，“數(shù)形結(jié)合”的方法也尤為重要.所謂數(shù)形結(jié)合，就是要求學(xué)生能夠把數(shù)學(xué)代數(shù)問題與平面圖形或者空間立體圖形結(jié)合起來，在腦海中構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后在該圖形的基礎(chǔ)之上解題.這樣通常都能增加問題的直觀程度，讓學(xué)生的解題思路更為清晰，從而答題過程中取得事半功倍的佳績.

例如，在解答上述那道不等式題目時，不僅可以運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的方法解決，也可以利用構(gòu)造平面圖形的方法解決，雖然這類解題方法不易敘述，但是卻更能直觀地標(biāo)明不等式的正確性，因此也是一種非常有效的解題方法.在解題時，我們可以構(gòu)造三邊相等，長度為1的等邊三角形△ABC，D,E,F分別為AB,BC,AC邊上的三點(diǎn)，設(shè)BD長度為x,CE長度為y,AF長度為z,然后通過三角形的面積公式S=底乘以高除以2求得各三角形的形狀，然后兩兩相加，比較出不等式的答案.構(gòu)造法通常都能打破常規(guī)的解題方式，給學(xué)生帶來一片嶄新的天地，便于學(xué)生精巧、便捷的解答，以達(dá)訓(xùn)練解題能力的目的.

“構(gòu)造法”給高中學(xué)生數(shù)學(xué)解題提供了很大的便利，它的核心解題思想著重突出了“它山之石，可以攻玉”的特點(diǎn)，因此在高中數(shù)學(xué)中，教師要將“構(gòu)造法”歸為教學(xué)的一大重點(diǎn)，注重對高中生解題方法中“構(gòu)造意識”的建立.其實(shí)構(gòu)造法也是切換問題形式的方式之一，這類解題方法考驗的是學(xué)生的聯(lián)想想象、另辟蹊徑以及換化條件的能力，若學(xué)生能夠?qū)?gòu)造法運(yùn)用得出神入化，就證明他們已經(jīng)具備了基本的創(chuàng)新意識與探究意識，智力也得到了一定的開發(fā).

[1]耿燕.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何巧用構(gòu)造法[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育),2013(02).

[2]德吉.試論高中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用構(gòu)造法的措施[J].西藏科技,2015(03).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

崔世輪，男，漢族，陜西綏德人，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

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