“換元法”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

賈永亮

(江蘇省灌云縣魯河中學(xué) 222200)

“換元法”是現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，應(yīng)用效果非常好的一種解題思路和方法，它主要是利用輔助元素的形式，來替換掉原有數(shù)學(xué)題目當(dāng)中的一些元素，即通過初中學(xué)生自己設(shè)計(jì)新的變量的方式，替換掉原本分散的破碎條件，進(jìn)而使其形成一個(gè)新的整體變量，并發(fā)掘出隱形條件，最終使得原本復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目，變成了一道思路非常清晰、條件非常清楚的簡單題目形式.數(shù)學(xué)是一種高等學(xué)科教育，它是所有學(xué)科當(dāng)中，對于學(xué)生邏輯思維能力和轉(zhuǎn)換思考能力要求最高的學(xué)科之一.因此，初中學(xué)生教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到換元法的教學(xué)效果，并且積極教學(xué)初中學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握換元法，并最終能夠?qū)Q元法在實(shí)際的數(shù)學(xué)解題當(dāng)中使用出來，真正意義上地提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和水平.

一、把握初中數(shù)學(xué)“換元法”的概念特點(diǎn)

“換元法”作為現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，各種方法中的一種解題方法，從方法應(yīng)用理念上來講，換元法實(shí)質(zhì)上就是一種化歸與轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)解題思想，它的關(guān)鍵應(yīng)用手段就在于設(shè)立元素和轉(zhuǎn)換元素.在日常的數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，很多初中學(xué)生會(huì)遇到這樣的情況，原有問題的條件不足，或者原有問題的條件比較分散，如果直接對其進(jìn)行已知條件的解析的話，很有可能會(huì)遇到解題困難，條件不足無法進(jìn)行下去的情況.在這種情況下，“換元法”的效果便可以得以體現(xiàn)，初中學(xué)生可以根據(jù)換元法的解題理念，通過設(shè)計(jì)一個(gè)或者若干個(gè)新的“新元素”的方式，去到原有題目當(dāng)中去替換掉“舊元素”，使得整個(gè)題目可以在原有的基礎(chǔ)上加強(qiáng)聯(lián)系，更好地理清思路進(jìn)行解題求解.對于初中學(xué)生而言，“換元法”并沒有那么的神秘，晦澀難懂，初中學(xué)生只需要抓住“換元法”的核心內(nèi)容——“轉(zhuǎn)化”，便可以實(shí)現(xiàn)對困難問題的簡單化，或者將原有問題的不利條件轉(zhuǎn)化為有利條件，進(jìn)而達(dá)到最快最好解答題目的目的.與此同時(shí)，近年來我國教育部推行的“新課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)”和素質(zhì)教育當(dāng)中，都明確地提出了現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生解題技能和實(shí)際應(yīng)用能力的教學(xué)，而不是簡單的理論知識灌輸，因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)深刻地認(rèn)識到“換元法”在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中的重要性，并且積極教會(huì)初中學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握“換元法”，從而有效地提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，提升初中學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

二、落實(shí)初中數(shù)學(xué)“換元法”的解題應(yīng)用

下面以初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中的因式分解解題的教學(xué)為例.因式分解是初中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中，非常常見的一種解題形式，它在初中數(shù)學(xué)解題知識點(diǎn)組成當(dāng)中，占據(jù)著非常大的比例，因此，它對于學(xué)生數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的掌握和培養(yǎng)，有著不可替代的作用.本文以蘇教版初中二年級教科書當(dāng)中的關(guān)于因式分解的例題教學(xué)為例，詳細(xì)地分析“換元法”在因式分解當(dāng)中的應(yīng)用策略.

例題1 將以下題目進(jìn)行因式分解：

(1)(x2+ 2x+ 4 )(x2+ 2x+ 8 ) + 4；

(2)(x+y)(x+ 2xy+y)+ (xy+ 1 )(xy- 1 ).

對于剛剛學(xué)習(xí)因式分解的初中學(xué)生而言，上述例題1中的兩個(gè)問題在元素和解題步驟方面，是相對而言較為復(fù)雜的，想要一下子直接解析出來不是非常的容易，尤其是第二題，涉及兩個(gè)未知元素，解題起來，是比較困難的.而通過應(yīng)用“換元法”的解題方式，初中學(xué)生可以將題目當(dāng)中的復(fù)雜元素進(jìn)行簡單元素代替，比如說，第二題當(dāng)中，原本x、y、元素就已經(jīng)有兩個(gè)了，后面又多了xy的組成因素，解題非常困難，而這時(shí)，初中學(xué)生可以通過預(yù)設(shè)x+y=m，xy=n的方式，對其進(jìn)行化繁為簡，從而使得原本多項(xiàng)的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為簡單的二元式，內(nèi)部結(jié)構(gòu)極大程度上地簡化了，更加方便初中學(xué)生進(jìn)行因式分解.

(1)解設(shè)x2+2x+4=y，那么通過計(jì)算可以得到x2+2x+8=x2+2x+4+4=y+4，這樣，原式便可以轉(zhuǎn)化為y(y+4)+4=y2+4y+4=(y+2)2.再將原本預(yù)設(shè)的x2+2x+4=y代入到(y+2)2當(dāng)中，便可以得出(x2+2x+4)(x2+2x+8)+4=(x2+2x+6)2.

(2)解設(shè)x+y=m，xy=n，那么通過換元法代入，原式這可以變?yōu)椋?/p>

(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=m(m+2n)+(n+1)(n-1)=m2+2mn+n2-1=(m+n)2-1.再將原本預(yù)設(shè)的x+y=m，xy=n代入到(m+n)2-1當(dāng)中，便可以得出：(x+y)(x+2xy+y)+(xy+1)(xy-1)=(x+y+xy+1)(x+y+xy-1).

綜上所述，“換元法”是現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)當(dāng)中，應(yīng)用效果非常好的一種解題思路和方法，它對于初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維培養(yǎng)，數(shù)學(xué)解題能力的提高以及邏輯思維能力的強(qiáng)化等，都具有著不可替代的影響.因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)積極在初中數(shù)學(xué)解題的教學(xué)當(dāng)中教學(xué)“換元法”，教會(huì)初中學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握換元法，從而真正意義上地提升初中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力和水平.

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