例談物理解題中的幾種數學方法

江蘇省南通市新橋中學(226008) 宋建輝 ●

例談物理解題中的幾種數學方法

江蘇省南通市新橋中學(226008) 宋建輝 ●

物理與數學的關系十分密切，數學是物理概念、規律的常用表達方式，是解答物理問題的重要工具．物理學是應用數學方法最充分、最成功的一門科學．下面通過具體例子來談談物理解題中幾種數學方法．

1．數軸法

是借助數軸解決物理問題的方法．根據具體問題首先賦予數軸特定的物理意義，使數軸上的點具有特殊的物理涵義，以此為基礎上進行分析解答．

例1 在1標準大氣壓下，水銀的熔點是－39℃，沸點為357℃，酒精的熔點是－117℃，沸點為78℃，而南極最低氣溫－88，3℃，現在那里考察隊用的液體溫度計是___溫度計(酒精/水銀);若測量沸水的溫度，則應選用___溫度計(同上)．

解析 欲確定某種物質在某一溫度下的狀態，首先將該物質的某溫度與它的熔點、沸點進行大小比較．為了便捷，我們以溫度作出數軸(如圖1):并將溫度分成三個不同的區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，然后由物態變化的相關知識可得(1)當溫度處在Ⅰ區域時，物質處于固態(2)當溫度處在Ⅱ區域時，物質處于液態(3)當溫度處在Ⅲ區域時，物質處于氣態．由此可判斷:－88，3℃時，酒精呈液態，水銀呈固態;100℃時，酒精呈氣態，水銀呈液態，所以答案是:酒精水銀．

2．方程法

是通過建立含有未知量的方程(或方程組)求解物理題的方法．對于有些題，會出現根據一步算不出具體結果，此時就要抓住那些不變的量(如電源電壓、定值電阻不變等)和物理規律建立方程(或方程組)，將復雜的物理問題轉化為數學問題，有效地降低了解題難度，使解題過程簡潔、明了．此法中考所要求的．

例2 某小組同學用圖2甲所示的電路進行了一些實驗探究．他們通過調節電阻箱，得到幾組電阻箱的阻值和對應的電壓值，并作出U－R圖像(如圖2乙)．則該組所選用定值電阻的阻值為___W．

解析 此題較難，難度在于根據歐姆定律一步算不出定值電阻的阻值，似乎少了一個已知條件——電源電壓．但可從圖像中直接讀取兩組數據:(20W3V)和(40 W4V)，然后抓住電源電壓不變，利用歐姆定律、串聯電路中電流、電壓的特點，建立方程組:

解之得R=20Ω．

3．函數法

是通過建立函數關系式解答物理題的方法．具體步驟:根據已知條件和物理定律、公式，首先建立物理函數關系式，再進一步分析確立物理函數的類型(如一次函數、二次函數或反比例函數等)，最后轉化為物理圖像，找出答案．此法常用于解答圖像選擇題．

例3 一正方體物塊放在密度可改變的鹽水中，能漂浮在液面上或懸浮在鹽水中，物塊底面與液面保持平行，底面到液面的距離為h，鹽水的密度為ρ．下列關于ρ與h的關系圖像(如圖3)中，可能正確的是( )．

解析 根據漂浮條件，可得F浮=G物又根據阿基米德原理，可得ρShg=m物g，化簡得出ρ與h的函數關系式為，其中物塊的質量m物塊的底面積S不變，由此可見，ρ與h是反比例函數．所以答案是:D

4．圖像法

是利用圖像本身的數學特征(如橫軸、縱軸，圖線的起點、交點、斜率等)所反映的物理意義來解決物理問題(求某些物理量、判斷運動狀態和尋找物理規律等)的方法．此法形象直觀，簡單明了．有時函數法和圖像法結合起來運用．

例4 質量相等、初溫相同的甲、乙兩種液體，分別用兩個相同的電加熱器分別給加熱(不計熱量損失)，根據實驗結果描繪地溫度－時間圖像如圖4所示．由圖像可知，c甲、c乙哪個大?

方法1 從圖像中可得 升高相同的溫度Δt，吸收的熱量Q甲＜Q乙，所以 c甲＜c乙;

方法2 由圖像可知，吸收的熱量Q相同，升高的溫度Δt甲＞Δt乙，所以c甲＜ c乙．

當然還可從圖像的特點來判斷:圖像中越平緩的線，吸熱升溫越慢，比熱容越大;圖像中越陡的線，吸熱升溫越慢快，比熱容越小，故答案是:B

5．不等式法

是介于定性與定量之間的一種半定量的思維方法．它是根據題意和物理定律列出不等式，用來確定未知量的取值范圍，從而找到答案．

例5 將蠟燭放在距離凸透鏡30cm的地方，在透鏡另一側的光屏上，有蠟燭清晰放大的像，由此可知，該透鏡的焦距可能是( )．

A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm

解析 根據凸透鏡成像規律，f＜u＜2f，成倒立、放大的實像，可列出不等式，f＜30cm＜2f，解之得15cm＜f＜30cm，故答案:A．

6．幾何法

是利用幾何知識(如相似三角形或全等三角形等)建立數學模型，并用它解決物理問題．

例6 如圖5所示，AO是可繞O轉動的輕質杠桿，現有一始終豎直向上的力F作用下將杠桿緩慢地有位置A至位置A'，則F大小的變化怎樣?

解析 根據杠桿原理F1l1可得在位置 A時:．由相似三角形知識可知，所以

綜上所述，初中物理解題中的數學方法甚多，教師在教學中，應潛移默化滲透數學方法，指導學生根據不同的物理問題選擇適當的數學方法．同時還提醒學生注意，應用數學方法解答物理問題時，切不可純數學化處理，“以數代理”，而必須“數理結合”即以物理意義為靈魂，在保證概念、規律的物理意義不受損害的前提下，建立數學模型，把物理問題轉化為數學問題，最終準確、簡捷地解決物理問題．

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