平面幾何題兩種解法的比較

江蘇省通州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(226300) 吳 健 ●

陜西省禮泉教研室(713200) 李 輝 ●

平面幾何題兩種解法的比較

江蘇省通州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(226300) 吳 健 ●

陜西省禮泉教研室(713200) 李 輝 ●

在中學(xué)階段，平面幾何題是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，如何解決這個(gè)難點(diǎn)?對這類問題主要有兩個(gè)思路，一是從公理、定理、推論出發(fā)，通過推理得出結(jié)論;二是根據(jù)圖形建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定圖形中已知點(diǎn)的坐標(biāo)，靈活使用平面直角坐標(biāo)系中的有關(guān)公式和方程來解決問題．

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)，B(－6，0)，點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，點(diǎn)C 的坐標(biāo)為___．

解法一 如圖所示，根據(jù)題意可知，AB=10，線段AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－1，0)，過點(diǎn)E作EP⊥x軸且令，則△BPE和△APE都是等腰直角三角形，所以在△APB中，∠APB=90°．以點(diǎn)P為圓心，BP為半徑作圓，與y軸交于點(diǎn)C，則∠ACB為弧所對應(yīng)的圓周角，∠APB為弧所對應(yīng)的圓心角，所以，故點(diǎn)C恰好在⊙P上．過點(diǎn)P作PF⊥y軸，則=OE=1，則在 Rt△CPF中，由勾股定理得 CF=，故OC=CF+OF=12，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，12)．同理可得，當(dāng)點(diǎn)C位于y軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－12)．

第一種解法是平面幾何解法，需要添加輔助圓，用到圓周角定理和垂徑定理，過程較為復(fù)雜;第二種解法設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用到兩角和的正切公式，較為簡捷．

置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．(1)求證:DG⊥BE;

(2)如圖4，小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG上時(shí)，求此時(shí)BE的長;

(3)如圖5，小明將正方形繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直線DG與直線BE相交于點(diǎn)H，求△AGH面積的最大值．

解法一 (1)證明:如圖10所示，延長EB交DG于點(diǎn)H．因?yàn)樗倪呅蜛BCD與四邊形AEFG是正方形，故在△ADG和△ABE中，由，得△ADG? ABE(SAS)，所以∠AGD=∠AEB，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°．所以∠AEB+∠ADG=90°．在△DHE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以∠DHE=180°－90°=90°，所以DG⊥BE．，所以△ADG?△ABE(SAS)，所以DG= BE．因?yàn)锽D為正方形對角線，所以∠MDA=45°．因?yàn)椤螦MD=∠AMG=90°，所以△AMD為等腰直角三角形，

(2)如圖11所示，作AM⊥DG交DG于點(diǎn)M．因?yàn)椤螪AB=∠GAE，所以∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG，即 ∠DAG = ∠BAE，故 在 △ADG 和 △ABE 中，AD=AB，所以DM=AM=1．在Rt△GMA中，所以

(3)點(diǎn)H在以EG為直徑的圓上，是一個(gè)定圓，同時(shí)H在以BD為直徑的圓上，是一個(gè)動(dòng)圓，其運(yùn)動(dòng)區(qū)域是以A為圓心，以AC為半徑的圓內(nèi)部區(qū)域．由圖形可知當(dāng)H點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，H點(diǎn)離AG的距離最大，從而△AGH的面積最大．在Rt△ADG中，所以DG=中，AG邊上的高為，所以△AGH的最大面積為

解法二 (1)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則，得

(2)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角度為θ，則B點(diǎn)坐標(biāo)為即點(diǎn)坐標(biāo)為即(．因?yàn)锽點(diǎn)在直線DG上，所以kDG，即，化簡得cosθ－sinθ由sin2θ+cos2θ=1解得負(fù)值舍去得

第一種解法是平面幾何法，用到三角形全等和圓的相關(guān)知識(shí);第二種解法是建立直角坐標(biāo)系，利用斜率和兩點(diǎn)間距離公式，還有軌跡方程及用導(dǎo)數(shù)求最值，運(yùn)算量極大．

從這兩個(gè)例子可以看出，兩種解法各有特點(diǎn)，例1用第二種方法解較簡單，例2用第一種解法較簡單．平面幾何解法需要添輔助線，需要一定的技巧，坐標(biāo)法的思想促使人們運(yùn)用各種代數(shù)的方法解決幾何問題．很多幾何中的難題，一旦運(yùn)用代數(shù)方法后就變得平淡無奇，但同時(shí)，也增加了解決問題的運(yùn)算量．

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1008－0333(2017)02－0036－02