一元二次方程的四種基本解法

江西省贛州市信豐縣九渡中學(341600) 賴承勇 ●

一元二次方程的四種基本解法

江西省贛州市信豐縣九渡中學(341600) 賴承勇 ●

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它們是中學數學中的一個不可忽視的內容，它們不僅和二次函數有著密不可分的關系，也是初高中解決不等式問題的必須運用的知識之一．

一元二次方程所具備的三個特點:(1)只含有一個未知數;(2)未知數的最高次冪是2;(3)是整式方程．

一、直接開方法

例題1 解方程(3x+2)(3x－2)=4．

解析 因為(3x+2)(3x－2)=4，所以9x2－4=4，即，所以

評注 解一元二次方程時，通常先把方程化為一般式，而用直接開放法求解時，應注意方程兩邊同時開方時，只需要一邊取正負號．如果形如(x+a)2=b時，應注意當b≥0時有解，否則無解．

二、配方法

例題2 解方程2x2－7x+2=0．

評注 在解決形如ax2+px+q=0的方程時，在使用配方法時，如果二次項系數不為1時，通常先把系數化為1，再進行配方．

三、公式法

例題3 某數學興趣小組對關于x的方程(m+1) xm2+2+(m－2)x－1=0提出了一個問題:若使方程為一元二次方程，m是否存在?若存在，求出m并解此方程．

解析 存在．若使方程為一元二次方程，則m+1≠0，且m2+2=2，得m=0．

當m=0時，方程變為x2－2x－1=0．．因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根為

評注 在利用公式法求解一元二次方程的解時，需要先把方程化成一般形式進行求解，若b2－4ac≥0時，方程有解，否則方程無實數解．

四、因式分解法

例題4 解方程6x2－x－2=0．

解析 將方程左邊用十字相乘法分解因式，有(2x+ 1)(3x－2)=0，所以2x+1=0或3x－2=0，從而x1=－

評注 在利用因式分解法時，方程一邊必須為0，另一邊可用任何方法分解因式．

變式訓練1 (2015年湖北武漢四月調考)解下列方程:

(3)因為 a=1，b=－3，c=1，所以 Δ=b2－4ac= (－3)2－4×1×1=5＞0，所以

(2)利用配方法得:(x－2)2=3，直接開平方，得x－2

(4)分解因式，得(x－4)(x+1)=0，即x1=4，x2=－1．

變式訓練2 (2015年安徽省阜陽市第十五中學二模)請閱讀下列材料:

問題:已知方程x2+x－1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．

請用閱讀材料提供的“換根法”解答下列問題(要求:把所求方程化為一般形式):

(1)已知方程x2+x－2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數，則所求方程為___;

(2)已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于0的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．

解析 (1)設所求方程的根為y，則y=－x，即x=－y．把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0．

變式訓練3 (2015年湖南長沙中考真題)現代互聯網技術的廣泛應用，催生了快遞行業的高速發展，據調查，長沙市某家小型“大學生自主創業”的快遞公司，今年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數分別為10萬件和12．1萬件，現假定該公司每月投遞的快遞總件數的增長率相同．

(1)求該快遞公司投遞總件數的月平均增長率;

(2)如果平均每人每月最多可投遞0．6萬件，那么該公司現有的21名快遞投遞業務員能否完成今年6月份的快遞投遞任務?如果不能，請問至少需要增加幾名業務員?

解析 (1)設該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為x，根據題意，得10(1+x)2=12．1，解得x1=0．1，x2=－2．2(不合題意，舍去)．答:該快遞公司投遞總件數的月平均增長率為10%．

(2)今年6月份的快遞投遞任務是12．1×(1+10%) =13．31(萬件)．因為平均每人每月最多可投遞0．6萬件，所以21名快遞投遞業務員能完成的快遞投遞任務是0．6×21=12．6萬件＜13．31萬件，所以該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務，所以需要增加業務員(13．31－12．6)÷0．6≈2(名)．答:該公司現有的21名快遞投遞業務員不能完成今年6月份的快遞投遞任務，至少需要增加2名業務員．

選擇恰當的方法能提高解題速度．(1)形如(x－a)2=b(a≠0)的方程可以用直接開平方法求解．(2)對于b為偶數又不易因式分解的可以用配方法較快解出．(3)對于b為奇數又不易因式分解的一元二次方程可以利用公式法求解．(4)能因式分解的就用因式分解法求解．

在解決一元二次方程的求解時，需要注意基本技能和解題技巧，方能勝券在握，當把基本方法掌握后，再對基本方法加以靈活運用，便可以做到熟能生巧．基礎知識掌握扎實的情況下對以后學習將會起到事半功倍的作用．

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