利用對稱求解最值的一種方法
——從“將軍飲馬”說起

福建省泉州第五中學(362100) 楊蒼洲 ●

利用對稱求解最值的一種方法
——從“將軍飲馬”說起

福建省泉州第五中學(362100) 楊蒼洲 ●

有這樣一個傳說:古希臘有一位名叫海倫的學者，有一天，一位將軍向他請教了一個問題:從A地出發(fā)到河邊MN去飲馬，然后再回到駐地B．問怎樣選擇飲馬地點，才能使路程最短?如何確定飲馬的地點?提起路線最短的問題，大家知道:連結兩點之間所有線中，最短的是線段．一位學者曾幽默地說，這一點連狗都知道．狗搶骨頭吃時，決不會迂回前進，而是徑直向骨頭撲去．但是，這個題中馬走的是一條折線．這又該怎么辦呢?

問題轉化為:在直線MN的同側有兩個定點A、B，試在直線MN上確定一點D使得AD+BD取得最小值?

解決方案:作點B關于直線MN的對稱點B'，連結AB'，交直線MN于點D，則點D為所求點．因為BD=B'D，∴AD+BD=AD+ B'D=AB'．而選擇直線MN上的任何其他點，如E點，則路程AE+BE=AE+B'E＞AB'，所以點D即為所求點．

這是利用對稱求解最值的一種方法——我們常總結為“同側和最小”．下面我們就此方法的應用舉例說明．

一、在坐標系中考查

___在坐標系中，幾種常見對稱點的求法我們必須掌握好:

對稱軸 x軸 y軸 直線y=x 直線y=－x P x0，y ()0 P1(x0，－y0) P2(－x0，y0) P3(y0，x0) P4(－y0，－x0)

掌握了上述幾種特殊的對稱后，我們就能熟練地求解點關于某特殊直線相應的對稱點，再利用對稱的性質(zhì)判斷出取得最小值時所在的位置．而在求解此最小值時，往往可以構造直角三角形進行求解．

例1 在平面直角坐標系xOy中，有兩點P ( －1，1)，是x軸上任意一點，則PM+QM的最小值是

解析 作P ( －1，1)關于x軸的對稱點 P'(－1，－1)，連接P'Q交x軸于點M，則PM= P'M，∴PM+QM=P'M+QM =P'Q，此時PM+QM取得最小值。最 小 值 為 P'Q=

二、在平面圖形中考查

在平面圖形中構造對稱，并判斷出最值位置后，需注意平面圖形的幾何性質(zhì)，如圓的對稱性、直角三角形的性質(zhì)等，進而應用平面圖形的幾何性質(zhì)求解出相應的最值．

例2 已知:AB是⊙O的直徑，AB=4，點C是半圓的三等分點，點D是弧BC的中點，AB上有一動點P，連接PC，PD，則PC+PD的最小值是多少?并畫出點P的位置．

解析 作點C關于直徑AB的對稱點C'，則 C'在圓上．∵點 C是半圓的三等分點，則∠COB=60°，∠DOC'=90°，∴PC+PD=PC'+PD=C'D=，所以PC+PD的最小值為

三、以構造法進行考查

解析 如圖作AR=x，AP=2，BR=8－x，BQ=4，，于是問題轉化為:在直線AB上求一點R，使它到P、Q兩點的距離和PR+QR最小．作Q關于直線AB的對稱點Q'，連接PQ'交直線AB于點R，則QR=Q'R，∴PR+QR=PR+Q'R=PQ'，此時PR+QR取得最小值，最小值為

四、在函數(shù)圖象中考查

近年來的中考試題中，最值問題成為設計壓軸題的一種常見設問，它主要與其他知識進行綜合，如以拋物線為背景的最值問題在中考中就十分搶眼．解決此類問題時，可類比于上述問題的解法，作出取得最小值時的點，然后結合幾何、函數(shù)等知識進行最值求解．

例5 定義一種變換:平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經(jīng)過F1的頂點A．設F2的對稱軸分別交F1、F2于點D、B，點C是點A關于直線BD的對稱點．

(1)如圖1，若F1:y=x2，經(jīng)過變換后，得到F2:y=x2+bx，點C的坐標為，則①b的值等于___;②四邊形ABCD為( )．

A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

(2)如圖2，若F1:y=ax2+c，經(jīng)過變換后，點B的坐標為，求△ABD的面積．

(2009浙江省紹興市數(shù)學中考試題)

解析 (1)－2，D;(2) SΔABD=2．

(3)①當點C在點A的右側時，設AC、BD交于點N，拋物線其 頂 點 為 A點A與點C關于直線BD對稱，∴AC⊥BD，且AN=NC，∴四邊形ABCD是菱形，∴PD=PB．作PH⊥AD交AD于點H，則PD+PH=PB+PH．要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小．此最小值是點B到AD的距離，即△ABD邊AD上的高故△ABD是等邊三角形最小值為當點C在點A的左側時，同理最小值為．

綜上述，點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為．

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