隱含條件“藏身”何處?

山東省棗莊市嶧城區底閣中學(277300) 張運虎 ●

隱含條件“藏身”何處?

山東省棗莊市嶧城區底閣中學(277300) 張運虎 ●

隱含條件是題設信息一種重要且常見的形式，能否發現并利用好題目中的隱含條件，常常成為能否順利解題的關鍵因素．那么隱含條件到底身藏何處呢?

一、藏在基本概念、定義之中

例1 (2015年四川涼山州中考)已知實數m，n滿足3m2+6m－5=0，3n2+6n－5=0，且m≠n，則

分析 由m≠n時，得到m，n是方程x2－2x－1=0的兩個不等的根，根據根與系數的關系進行求解．

解 ∵實數m，n滿足3m2+6m－5=0，3n2+6n－5 =0，且m≠n，則m，n是方程3x2+6x－5=0的兩個不相等的根

點評 本題根據m，n滿足的條件，得知m，n是方程3x2+6x－5=0的兩個不等的根是解題的關鍵．

二、藏在題設條件的特征之中

例2 已知當x=－2時，代數式 ax3+bx+1的值為6，那么當x=2時，代數式的值是___．

分析 ax3+bx+1是一個關于x的缺x2項的三次三項式，當x分別等于－2和2時，其中含a、b的兩項必分別互為相反數，可采用整體消元法求值或整體代入法求值．

解 設x=2時，ax3+bx+1=M，

即8a+2b+1=M ①．

由已知，得－8a－2b+1=6 ②．

①+②，得2=M+6，∴M=－4，即ax3+bx+1=－4．

點評 數、式的特征中常常就包含著隱含條件，暗示著解題的思路和方向，這也是隱含條件最為普遍的藏身地．

三、藏在問題的簡單或初始狀態之中

例3 一位老師想辨別出他的三個聰明的學生A，B，C中哪一個更聰明．他采用的方法是:拿出5頂帽子，其中3頂是紅的，2頂是黑的，讓三個學生看了這5頂帽子以后，請他們閉上眼睛，然后分別給他們戴上1頂紅帽子，并且把2頂黑帽子藏起來，最后請他們同時睜開眼睛，說出自己頭上戴的帽子的顏色，但不能把帽子取下來看．過了一會兒，其中一個學生B，斷定了自己頭上戴的是紅帽子，受到了老師的贊揚．請同學們想一想，他是怎樣推斷出來的?

分析 初見此題頗感為難，同學們有的抓頭擾耳，有的爭論不休，有的則不知所措，可見此題頗有挑戰性．可是，如果我們能回到初始的狀態，則會讓人茅塞頓開，使問題迅速獲解．可以從3頂帽子、兩個人這個簡單情況出發研究．3頂帽子，2紅1黑，若給兩個人分別戴上1紅1黑，則戴上紅的那個人一看到僅有的1頂黑帽子戴在對方頭上，立即就能斷定自己戴的是紅帽子，但若給兩人都戴上紅帽子，每人眼里只看到對方戴的1頂紅帽子，就難以斷定自己頭上戴的是哪種顏色的帽子，但兩人中聰明的一個一定會想到，自己頭上若是戴的黑帽子，那么對方立即就能說出頭上戴的是紅帽子，而現在對方在躊躇，所以自己頭上戴的必定是紅帽子．

現在來研究5頂帽子、3個人的情況．

B想如果自己頭上戴的是黑帽子，那么剩下的人就成為4頂帽子(3紅1黑)、兩個人的問題，他們兩個聰明人一定能通過上述考慮立即判斷出自己頭上所戴帽子的顏色而不會猶豫．現在他們在猶豫，那就說明我頭上戴的是紅帽子．

四、藏在一定的邏輯關系中

分析 結論沒有用數學式子表示，很難直接證明，思維受阻．若能轉換語言表達形式，即換一種說法，首先將結論用數學式子表示，轉化成我們熟悉的形式．a，b，c中至少有一個等于1，也就是說a－1，b－1，c－1中至少有一個等于零，這樣，問題就容易解決了．

于是(a－1)(b－1)(c－1)=abc－(ab+ac+bc)－1 +(a+b+c)=0，∴a－1，b－1，c－1中至少有一個等于0，即a，b，c中至少有一個等于1．

點評 數學就是一種邏輯的演繹，隱含條件常隱藏在一定的邏輯關系之中．因此，我們要注意掌握的運用邏輯分析和邏輯推理這個有力武器，讓隱含條件暴露于光天化日之下．

五、藏在圖形之中

例5 (2015年威海中考)如圖1，已知 AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數為( )

A．68° B．88°

C．90° D．112°

分析 如圖，作輔助圓．首先運用圓周角定理證明∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，結合已知條件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解決問題．

解 如圖，∵AB=AC=AD，∴點B、C、D在以點A為圓心，以AB的長為半徑的圓上．∵∠CBD=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∴∠CAD=2∠BAC．而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，故選B．

點評 本題通過補出隱含在圖形中的輔助圓，借助圓的性質使問題簡捷、巧妙、迅速地獲解．

G632

B

1008－0333(2016)32－0020－01